Enigme : Equation

**topofweb** · 08/03/2008, 17h46

Bonjour à tous !

J'ai ce petit problème à régler, si vous pouviez m'éclairer :

w + x + y + z = 711 et
w*x*y*z = 711 000 000

avec w, x, y et z entiers plus petits que 711.

A vos crayons, merci de m'expliquer la méthode et les étapes :triste:

Merci !

invite425270e0 · 08/03/2008, 19h36

Plop!

Moi je décompose 711 000 000 en produits de facteurs premier.
Euh pour faire plus simple j'fais d'abord 711 000 000 = 711 * 1 000 000
Puis je décompose les deux.
Ensuite grâce à cela tu peux noter tout les diviseurs, arrête toi quand ça dépasse 711

tu ne devrais pas trop en avoir. Ensuite t'as plus qu'à vérifier lesquels sont solutions de la somme w+x+y+z = 711
Y'a pas vraiment de méthode analytique, tu tests^^

Cordialement, Universmaster.

invite2220c077 · 08/03/2008, 22h40

On pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Notre système se réécrit donc :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Or d'après les relations de Viète, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des solutions du polynôme :

$\text{[math]}$

Or, $\text{[math]}$ , ainsi le système considéré n'admet aucune solution.

invite7af75ce8 · 08/03/2008, 22h47

Envoyé par -Zweig-

On pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Faux. u*v = (x+y)(z+w)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2220c077 · 08/03/2008, 23h13

invite8bc5b16d · 09/03/2008, 00h05

salut,

alors il se fait beaucoup trop tard pour que je me mette sur un tel problème, mais une piste que j'étudierais serait :

on a 4 inconnues et 2 équations, donc assez peu de données...je décide de "fixer" 2 inconnues, par exemple x et y, et de traiter le système comme un système de 2 équations à 2 inconnues (donc w et z par exemple ici)...on obtient donc w et z en fonction de x et y....ensuite on cherche ce qu'imposent les conditions w,x,y,z entiers inférieurs à 711...
enfin je sais pas du tout si ca marche

sinon la méthode de Universmaster peut être réalisable, surtout avec l'aide de l'informatique

**invite1237a629** · 09/03/2008, 07h25

Plop,

De manière intuitive, je dirais aussi qu'il n'y a pas de solution (je me base sur le dernier chiffre de la somme et les différents derniers chiffres qu'on obtient par somme des diviseurs de 711 000 000), mais c'est trèèèèèès intuitif

**ericcc** · 12/03/2008, 12h18

Je pense qu'il n'y a pas de solution à ce problème. Voici mon raisonnement :

71100000=9*79*1000000, donc l'un des facteurs est divisible par 79. Comme les équations sont symétriques, décidons que c'est w. Posons w=79w'
Les équations deviennent :

w'xyz=9000000
x+y+z=79(9-w')

Donc w'<9 et par conséquent on peut examiner tous les cas w'=2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.

Pour chacun des cas la méthode est identique, elle se base sur le fait que la somme de facteurs dont le produt est constant est minimum quand les termes sont égaux.

Par exemple pour w'=3, on trouve

x+y+z=475
xyz=3*100*100*100

On trouvera donc toujours dans la somme minimum 300, 100 et 100 soit un minimum supérieur à 475.

Les autres cas se traitent pareillement.

invité576543 · 12/03/2008, 13h00

Envoyé par ericcc

x+y+z=475
xyz=3*100*100*100

On trouvera donc toujours dans la somme minimum 300, 100 et 100 soit un minimum supérieur à 475.

150+100+ 200 <475 et 3000000 = 150*100*200

Cordialement,

Cliquez pour afficher

invité576543 · 12/03/2008, 13h07

Et, j'allais oublier... 6 fois 79, ça fait 474, pas 475...

Cordialement,

**ericcc** · 12/03/2008, 13h16

Oui...bon....j'ai dit des bêtises....

invité576543 · 12/03/2008, 13h32

Ceci dit, c'est une bonne voie. La majoration citée permet de virer w'=6, par exemple. C'est juste l'exemple qui n'était pas le bon

Pour les petits w', faut des raisonnements différents...

Cordialement,

invite986312212 · 12/03/2008, 13h57

il y a une solution!
je viens d'écrire une petite fonction R qui l'a trouvée en moins d'une seconde.

**God's Breath** · 12/03/2008, 14h35

En posant $\text{[math]}$ , on peut écrire, par inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique :
$\text{[math]}$ , soit
$\text{[math]}$ .

Une vérification rapide montre que $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ vaut 79, 158, 237 ou 316.

**ericcc** · 12/03/2008, 14h45

Encore une bêtise...

invité576543 · 12/03/2008, 14h45

Envoyé par God's Breath

En posant $\text{[math]}$ , on peut écrire, par inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique :
$\text{[math]}$ , soit
$\text{[math]}$ .

Une vérification rapide montre que $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ vaut 79, 158, 237 ou 316.

C'est la même majoration que celle citée par ericc, elle permet d'éliminer w'=6 et w'=5, effectivement. On trouve la liste de ericc, avec w'=1 en plus...

Cordialement,

invité576543 · 12/03/2008, 14h52

Pour w'=4, une petite modification permet de le virer aussi:

Somme: 395
Produit = 2250000, de racine cubique 131, ce qui un poil en-dessous le tiers de 395

Mais les diviseurs les plus proches de 131 sont 125 et 150, et les deux font déborder...

Cordialement,

**God's Breath** · 12/03/2008, 15h15

Envoyé par Michel (mmy)

C'est la même majoration que celle citée par ericc, elle permet d'éliminer w'=6 et w'=5, effectivement. On trouve la liste de ericc, avec w'=1 en plus...

Mais je n'ai pas compris ce qui permettait à ericc de se limite aux valeurs de $\text{[math]}$ comprises entre 2 et 6 seulement...

En fait, la comparaison des moyennes sous forme générale ([tex]w[tex] n'étant pas supposé multiple de 79) conduit à
$\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$ dont le premier membre s'étudie facilement grâce à la racine triple, et l'on montre que l'on a nécessairement $\text{[math]}$ .

Lorsque $\text{[math]}$ , la somme $\text{[math]}$ n'est pas multiple de 5, alors que le produit $\text{[math]}$ est multiple de $\text{[math]}$ .
Un facteur ne peut être multiple de $\text{[math]}$ , et les trois facteurs ne peuvent être multiples de 5 puisque leur somme ne l'est pas.
On a donc deux facteurs multiples de $\text{[math]}$ , qui ne peuvent être que 125 ou 250, à cause de la majoration par 319.

Reste quelques cas à étudier à la main pour $\text{[math]}$ (je calcule $\text{[math]}$ à partir de la somme) :
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
– $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ qui ne convient pas
sauf erreur de calcul dont je suis friand...

invite425270e0 · 12/03/2008, 15h21

J'ai essayé de faire un programme qui test toutes les solutions mais il faut beaucoup trop de temps, comment t'as fait ambrosio?

**ericcc** · 12/03/2008, 15h36

En fait j'avais oublié le cas w'=1 !
Sinon comme w' est un diviseur de 900000000 inférieur strictement à 9, on a les valeurs que j'ai données, car w'=8 donne x+y+z=79 qui ne colle pas.
Il reste donc w=1,2,3,4,5,6. Mon raisonnement, mené correctement (merci MMy) permet d'écarter w'=5 et w'=6.
Je comprends que God's Breath a éliminé w'=1,2 ou 3.
Reste w'=4 ?

invité576543 · 12/03/2008, 15h58

Envoyé par God's Breath

Lorsque $\text{[math]}$ , la somme $\text{[math]}$ n'est pas multiple de 5, alors que le produit $\text{[math]}$ est multiple de $\text{[math]}$ .
Un facteur ne peut être multiple de $\text{[math]}$ , et les trois facteurs ne peuvent être multiples de 5 puisque leur somme ne l'est pas.
On a donc deux facteurs multiples de $\text{[math]}$ , qui ne peuvent être que 125 ou 250, à cause de la majoration par 319.

Je ne comprend pas le 319. Dans le cas w=79, la somme des trois autres est 632, qui n'exclut pas 625.

De même, tj dans le cas w=79, la somme des trois autres étant 632, 375 est possible, par exemple.

Je me trompe?

Cordialement,

invitec5eb4b89 · 12/03/2008, 16h07

Envoyé par Universmaster

J'ai essayé de faire un programme qui test toutes les solutions mais il faut beaucoup trop de temps, comment t'as fait ambrosio?

J'en ai également fait un tout petit, pour m'amuser, certainement pas optimal et qui génère aléatoirement un vecteur de 4 entiers naturels satisfaisant les conditions "chaque nombre est inférieur à 711" et "la somme des 4 vaut 711"

Code:

calcul <- function(x,somme=711,produit=711000000){
  s <- sum(x)
  p <- prod(x)
  (s==somme)&(p==produit)
}

genere <- function(n=712) {
  x1 <- floor(runif(1,1,n-3))
  x2 <- floor(runif(1,1,n-x1-2))
  x3 <- floor(runif(1,1,n-x1-x2-1))
  x4 <- 711-sum(x1,x2,x3)
  res <- c(x1,x2,x3,x4) ; if(sum(is.nan(res))==1) res <- 0
  res
}

cond <- TRUE ; i <- 1
while(cond){
  cat("itération ",i," : ",x <- genere(),",\t s = ",sum(x),", p = ",prod(x),"\n")
  cond <- !calcul(x)
  i <- i+1
}

Il lui a bien fallu 2 millions de générations aléatoires pour arriver au bon résultat mais je suis quand même content de moi

.

invite986312212 · 12/03/2008, 16h11

Envoyé par Universmaster

J'ai essayé de faire un programme qui test toutes les solutions mais il faut beaucoup trop de temps, comment t'as fait ambrosio?

c'est du R, je crois que c'est assez facile
à comprendre même si on ne connaît pas ce
logiciel.
rep(x,n) : repete n fois la valeur x
prod(x) : fait le produite des éléments de x
sum(x) : idem mais la somme
floor(x) : partie entière de x
runif(n) : renvoie n valeurs aléatoire uniformes sur [0,1]
tapply(x,y,fu) : applique parallèlement aux éléments de x
qui ont même valeur de la variable y la fonction fu

#x contient les facteurs premiers de 711000000
> x<-c(rep(2,6),rep(3,2),rep(5,6),7 9)
> x
[1] 2 2 2 2 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 79
#on vérifie que le produit est bien le bon
> prod(x)
[1] 7.11e+08
#la fonction fu découpe le vecteur x en quatre groupes
#de facteurs premiers, et fait la somme des produits
> fu
function(x){
partition<-floor(runif(length(x))*4)+1
return(list(partition=partitio n,somme=sum(tapply(x,partition ,prod))))
}

il suffit de lancer un grand nombre de fois fu(x) pour trouver la solution (moins de 1000 fois en pratique).
Ce n'est pas très malin parce que beaucoup de partitions
aléatoires reviennent au même, mais ça marche.

**God's Breath** · 12/03/2008, 16h11

Envoyé par ericcc

Reste w'=4 ?

Dans le cas w'=4, soit w = 316, il reste x+y+z=395 et xyz = 2250000
Si une seule des inconnues est divible par 5, elle l'est par $\text{[math]}$ , ce qui ne se peut.
Si deux seulement des inconnues sont divisibles par 5, la somme des trois ne peut l'être, ce qui n'est pas.

Donc les trois inconnues sont divisibles par 5. Reste encore 3 facteurs 5 du produit à répartir entre elles ; si on en accorde encore 1 à chacune, elle seront multiples de 25, leur somme aussi, ce qui n'est pas ; si on accorde les 3 facteurs à la même inconnue, elle est multiple de $\text{[math]}$ , ce qui est encore impossible.

La seule possibilité est $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ non multiples de 5.

On a toujours $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ vaut 1 ou 2.

Si $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ , il reste $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ qui est impossible.

Si $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ , il reste $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (on choisit [tex]x \geq y[tex]).
On obtient enfin l'unique solution (à permutation près...) :
316,150,120,125

invité576543 · 12/03/2008, 16h12

Maintenant, on peut reprendre le raisonnement de G'B, en cherchant si on peut trouver 711-a79-b125 positif n'ayant que 2 et 3 comme diviseurs premiers, avec a entre 1 et 4

Je ne trouve rien de tel...

La question est alors à Ambrosio! S'il y a bien une solution, il y a un pb de raisonnement qq part...

Cordialement,

invité576543 · 12/03/2008, 16h15

annulé.....

invité576543 · 12/03/2008, 16h17

Envoyé par Michel (mmy)

Maintenant, on peut reprendre le raisonnement de G'B, en cherchant si on peut trouver 711-a79-b125 positif n'ayant que 2 et 3 comme diviseurs premiers, avec a entre 1 et 4

Je ne trouve rien de tel...

La question est alors à Ambrosio! S'il y a bien une solution, il y a un pb de raisonnement qq part...

Cordialement,

Oops, je n'avais pas vu la solution... Je vais voir où je me suis trompé...

Cordialement,

**kadomatsu** · 12/03/2008, 16h48

Un début de méthode qui ne fonctionne pas souvent, mais ici ça devrait marcher plutôt bien (je dis ça, mais je ne suis pas allé jusqu'au bout dans les calculs).

Si w,x,y et z sont proches, alors leur somme fait à peu près 4 fois w et leur produit fait à peu près w^4. On vérifie que la racine quatrième de 711000000 fait environ 163,3 et que 4 fois 163,3 fait dans les 653, soit pas très loin de 711. Or, plus la différence entre les termes w,x,y et z est grande, plus le rapport entre le produit et la somme des termes est grand. On en déduit que s'il existe une solution, les termes w,x,y,et z sont assez proches les uns des autres.

Ensuite, on factorise 711000000. On trouve que 79 est un facteur premier, mais on sait que les nombres w,x,y et z sont à peu près autour de 711/4=177,75. Il faut donc que parmi w,x,y et z on trouve un multiple de 79 pas trop éloigné de 177,75. A priori on peut tester w=79*2=158 qui est le plus proche. Sinon, on essaiera w=79*3=237, et il y a de très fortes chances pour que s'il n'y a pas encore de solution ici alors il n'en existe pas.

Pour déterminer x,y et z, on essaie encore de trouver des facteurs parmi les diviseurs de 711000000/79=9000000 qui sont assez proches de 177,75. Par exemple 160, 180, 200, etc.

**God's Breath** · 12/03/2008, 17h01

Envoyé par kadomatsu

Un début de méthode qui ne fonctionne pas souvent, mais ici ça devrait marcher plutôt bien (je dis ça, mais je ne suis pas allé jusqu'au bout dans les calculs).

Si w,x,y et z sont proches, alors leur somme fait à peu près 4 fois w et leur produit fait à peu près w^4.

C'est bien l'intérêt de manipuler directement l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et géométriques : formaliser ce raisonnement, encadrer rigoureusement les solutions possibles, réduire le nombre de cas en utilisant des propriétés de divisibilité.
Et terminer "à la main" lorsque l'on estime que le nombre de cas subsistants est "suffisamment petit".

**kadomatsu** · 12/03/2008, 17h03

Une méthode améliorée de la précédente : pour déterminer l'amplitude maximale de w,x,y et z, on suppose que l'on a w=x=177.5, et on pose y=177.5+h et z=177.5-h. On obtient alors wxyz=177.5^4-177.5^2 h^2. Comme cette quantité doit être égale à 711000000, on obtient h=94,5. On en déduit que tous les termes w,x,y et z sont compris entre 83 et 272. Il ne reste plus qu'à chercher les diviseurs de 711000000 là-dedans.

Enigme : Equation

Enigme : Equation

Re : Enigme : Equation

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