Enigme : Equation

[invite8ebd7639]

C'est bien l'intérêt de manipuler directement l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et géométriques : formaliser ce raisonnement, encadrer rigoureusement les solutions possibles, réduire le nombre de cas en utilisant des propriétés de divisibilité.
Et terminer "à la main" lorsque l'on estime que le nombre de cas subsistants est "suffisamment petit".

Oui, bien sûr, toutefois comme il semble que topofwen ne connaisse pas cette technique, elle lui semblera peut-etre plus parlante sur cet exemple concret qu'avec des formules plus élaborées !
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[invite57a1e779]

Une méthode améliorée de la précédente : pour déterminer l'amplitude maximale de w,x,y et z, on suppose que l'on a w=x=177.5, et ...

Les raisonnements usuellement admis par la communauté mathématique ne permette pas d'introduire une hypothèse supplémentaire sauf à vouloir démontrer, par tiers exclu qu'elle est fausse.

L'hypothèse w=x=177.5 est trivialement fausse, donc il n'y a aucun intérêt à raisonner dessus.

Si on la remplace par une autre, plus vraisemblable, comme w=177, x=178 (et encore faudrait-il prendre des diviseurs de 711000000), on pourra seulement prouver qu'elle est fausse, ce qui permettra d'exclure certaines possibilités, mais pas de trouver les solutions.

[invite8ebd7639]

Les raisonnements usuellement admis par la communauté mathématique ne permette pas d'introduire une hypothèse supplémentaire sauf à vouloir démontrer, par tiers exclu qu'elle est fausse.

L'hypothèse w=x=177.5 est trivialement fausse, donc il n'y a aucun intérêt à raisonner dessus.

Si on la remplace par une autre, plus vraisemblable, comme w=177, x=178 (et encore faudrait-il prendre des diviseurs de 711000000), on pourra seulement prouver qu'elle est fausse, ce qui permettra d'exclure certaines possibilités, mais pas de trouver les solutions.

Pour pouvoir donner le plus d'amplitude possible à deux termes, il faut bien que les autres soient aussi proches que possible de la valeur moyenne. Maintenant je peux détailler davantage, ou encore on peut s'encombrer avec plus de paramètres si tu préfères éviter un raisonnement d'hérétique

[inviteaf1870ed]

Une méthode améliorée de la précédente : pour déterminer l'amplitude maximale de w,x,y et z, on suppose que l'on a w=x=177.5, et on pose y=177.5+h et z=177.5-h. On obtient alors wxyz=177.5^4-177.5^2 h^2. Comme cette quantité doit être égale à 711000000, on obtient h=94,5. On en déduit que tous les termes w,x,y et z sont compris entre 83 et 272. Il ne reste plus qu'à chercher les diviseurs de 711000000 là-dedans.

Hmmm il me semble que dans la solution trouvée, on a w=316>272 ???

[invite57a1e779]

Maintenant je peux détailler davantage, ou encore on peut s'encombrer avec plus de paramètres si tu préfères éviter un raisonnement d'hérétique

J'aimerais effectivement un raisonnement rigoureux, dans lequel toute hypothèse faite soit clairement assurée ou réfutée.

[invite8ebd7639]

Hmmm il me semble que dans la solution trouvée, on a w=316>272 ???

Exact (bien vu !), car j'ai oublié quelque chose. Dans mon raisonnement je suppose implicitement que deux valeurs seront plus grandes que 711/4 et les deux autres plus petites. Une fois que l'on a éliminé cette possibilité, il faut donc étudier les cas où une seule de ces valeurs, à la différence des trois autres, est soit plus grande, soit plus petite que 711/4.

[invite425270e0]

Pour les programmeurs^^ :

HigginsVincent, j'me rappelle plus trop le codage c++, faudra que j'me remette dedans, mais bien joué pour ta méthode.
Ambrosio: en fait t'essayes un certains nombre de combinaisons aléatoire? moins rigoureux mais si ça marche^^

Moi j'ai fait un programme sous VB en faisant en fait w,x,y valent 0, puis z=1 jusqu'à 711.
quand z=711, j'le remet à 0 et j'pose y=1, et rebelotte, etc. Mais j'ai vite arrêté en voyant que ça prenait trop de temps.
Si pour faire une boucle if il faut 1*10^-4 seconde, il faudrait minimum 100 heures avec mon programme :s ...
Bref trop long.

[invite57a1e779]

Hmmm il me semble que dans la solution trouvée, on a w=316>272 ???

Parce qu'il y a une pétition de principe dans la méthode de kadomatsu sur les valeurs des w,x,y,z.

L'inégalité sur les moyennes montre que ces valeurs sont encadrées entre 75 et 319, que l'on peut réduire à 316 en considérant les diviseurs de 711000000.

La solution unique est 120,125,150,316, et s'étage (presque) dans tout l'intervalle dont elle atteint la borne supérieure, alors que kadomatsu suppose (sans le justifier) que la solution se regroupe autour de la moyenne de 711/4.

[invite57a1e779]

Moi j'ai fait un programme sous VB en faisant en fait w,x,y valent 0, puis z=1 jusqu'à 711.
quand z=711, j'le remet à 0 et j'pose y=1, et rebelotte, etc. Mais j'ai vite arrêté en voyant que ça prenait trop de temps.
Si pour faire une boucle if il faut 1*10^-4 seconde, il faudrait minimum 100 heures avec mon programme :s ...
Bref trop long.

C'est bien pour cela qu'il faut d'abord réduire le nombre de cas par un argument théorique : w, x, y, z sont compris entre 75 et 319, et divisent 711000000.
Cela limite les possibilités à
75, 79, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 158, 160, 180, 192, 200, 225, 237, 240, 250, 288, 300, 316.

Tu déclares ces valeurs dans une liste, et tu ne testes que ces valeurs. Ton programme devrait alors tourner en un temps raisonnable.

[invite425270e0]

Oui ça ira super vite, j'essaye ça.

[inviteaf1870ed]

Parce qu'il y a une pétition de principe dans la méthode de kadomatsu sur les valeurs des w,x,y,z.

L'inégalité sur les moyennes montre que ces valeurs sont encadrées entre 75 et 319, que l'on peut réduire à 316 en considérant les diviseurs de 711000000.

La solution unique est 120,125,150,316, et s'étage (presque) dans tout l'intervalle dont elle atteint la borne supérieure, alors que kadomatsu suppose (sans le justifier) que la solution se regroupe autour de la moyenne de 711/4.

Sans vouloir trop me glorifier, il me semble que ma méthode permet également de montrer que w'<5, donc que w est compris entre 79 et 316, sans passer par l'inégalité sur les moyennes.

[invite57a1e779]

Sans vouloir trop me glorifier, il me semble que ma méthode permet également de montrer que w'<5, donc que w est compris entre 79 et 316, sans passer par l'inégalité sur les moyennes.

Oui, parce que ta méthode utilise des raisonnements rigoureux basés sur les équations et les propriétés arithmétiques des données.

N.B. : Je prouve que les 4 inconnues sont comprises entre 75 et 319, et pas seulement w.

[invite8ebd7639]

kadomatsu suppose (sans le justifier) que la solution se regroupe autour de la moyenne de 711/4.

Bin ça c'est évident, et c'est aussi ce que tu fais ! Après il faut se mettre d'accord sur la signification exacte de ce que l'on comprend par "autour".

[invite57a1e779]

Bin ça c'est évident, et c'est aussi ce que tu fais ! Après il faut se mettre d'accord sur la signification exacte de ce que l'on comprend par "autour".

Je voudrais bien savoir où je suppose que la solution se regroupe autour de 711/4.

[invite8ebd7639]

Je voudrais bien savoir où je suppose que la solution se regroupe autour de 711/4.

Pas autour de 711/4, je te l'accorde. Mais quand tu écris "l'on montre que l'on a nécessairement 75 <= w <= 319, j'en comprends que les solutions sont comprises autour d'une certaine valeur médiane.

[invite57a1e779]

Mais quand tu écris "l'on montre que l'on a nécessairement 75 <= w <= 319, j'en comprends que les solutions sont comprises autour d'une certaine valeur médiane.

Sauf que j'écris justement "on montre que...", je n'en fais pas un présuposé de mon imagination.

[acx01b]

salut

pour coder le problème j'utiliserais une liste de doublets:
un doublet est l'association d'un diviseur premier de 711 millions et de son degré
(2 est de degré 6 car 2^6 divise 711 millions)

ensuite on peut générer tous les w,x,y,z possibles et tester si leur somme vaut 711

[acx01b]

salut
après le mode "brut force" plus simple c'est d'écrire:
711 000 000 = 3 * 3 * 79 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5
on a 15 diviseurs !
(rappel 4^15 = 1 milliard)

tableau diviseurs = [3 ,3 ,79 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5]
tableau affectation = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0]
boucler
i <-- 15
tant que t[i] = 4 :
t[i] = 1
i <-- i - 1
si i = 0 alors fin du programme
fin tant que
t[i] <-- t[i] + 1
w <-- 1
x <-- 1
y <-- 1
z <-- 1
pour i de 1 à 15
si t[i] = 1 alors
w <-- w * diviseurs[i]
sinon si t[i] = 2
x <-- x * diviseurs[i]
sinon si t[i] = 3
y <-- y * diviseurs[i]
sinon si t[i] = 4
z <-- z * diviseurs[i]
fin si
si w + x + y + z = 711 alors
afficher (w,x,y,z)
fin si
fin pour
fin boucle

[invite8ebd7639]

Sauf que j'écris justement "on montre que...", je n'en fais pas un présuposé de mon imagination.

Bien, comme je trouve tes réponses particulièrement désagréables, je ne juge pas utile de détailler davantage mon explication à cet endroit. Si quelqu'un la souhaite, il suffit de me la demander en MP.