Enigme : Equation
Bonjour à tous !
J'ai ce petit problème à régler, si vous pouviez m'éclairer :
w + x + y + z = 711 et
w*x*y*z = 711 000 000
avec w, x, y et z entiers plus petits que 711.
A vos crayons, merci de m'expliquer la méthode et les étapes :triste:
Merci !
Plop!
Moi je décompose 711 000 000 en produits de facteurs premier.
Euh pour faire plus simple j'fais d'abord 711 000 000 = 711 * 1 000 000
Puis je décompose les deux.
Ensuite grâce à cela tu peux noter tout les diviseurs, arrête toi quand ça dépasse 711tu ne devrais pas trop en avoir. Ensuite t'as plus qu'à vérifier lesquels sont solutions de la somme w+x+y+z = 711
Y'a pas vraiment de méthode analytique, tu tests^^
Cordialement, Universmaster.
On poseet
Or d'après les relations de Viète,
Or,
Faux. u*v = (x+y)(z+w)Envoyé par -Zweig-
On pose
salut,
alors il se fait beaucoup trop tard pour que je me mette sur un tel problème, mais une piste que j'étudierais serait :
on a 4 inconnues et 2 équations, donc assez peu de données...je décide de "fixer" 2 inconnues, par exemple x et y, et de traiter le système comme un système de 2 équations à 2 inconnues (donc w et z par exemple ici)...on obtient donc w et z en fonction de x et y....ensuite on cherche ce qu'imposent les conditions w,x,y,z entiers inférieurs à 711...
enfin je sais pas du tout si ca marche
sinon la méthode de Universmaster peut être réalisable, surtout avec l'aide de l'informatique
Plop,
De manière intuitive, je dirais aussi qu'il n'y a pas de solution (je me base sur le dernier chiffre de la somme et les différents derniers chiffres qu'on obtient par somme des diviseurs de 711 000 000), mais c'est trèèèèèès intuitif
Je pense qu'il n'y a pas de solution à ce problème. Voici mon raisonnement :
71100000=9*79*1000000, donc l'un des facteurs est divisible par 79. Comme les équations sont symétriques, décidons que c'est w. Posons w=79w'
Les équations deviennent :
w'xyz=9000000
x+y+z=79(9-w')
Donc w'<9 et par conséquent on peut examiner tous les cas w'=2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
Pour chacun des cas la méthode est identique, elle se base sur le fait que la somme de facteurs dont le produt est constant est minimum quand les termes sont égaux.
Par exemple pour w'=3, on trouve
x+y+z=475
xyz=3*100*100*100
On trouvera donc toujours dans la somme minimum 300, 100 et 100 soit un minimum supérieur à 475.
Les autres cas se traitent pareillement.
150+100+ 200 <475 et 3000000 = 150*100*200
Cordialement,
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Et, j'allais oublier... 6 fois 79, ça fait 474, pas 475...
Cordialement,
Oui...bon....j'ai dit des bêtises....
Ceci dit, c'est une bonne voie. La majoration citée permet de virer w'=6, par exemple. C'est juste l'exemple qui n'était pas le bon
Pour les petits w', faut des raisonnements différents...
Cordialement,
il y a une solution!
je viens d'écrire une petite fonction R qui l'a trouvée en moins d'une seconde.
En posant
Une vérification rapide montre que
Encore une bêtise...
C'est la même majoration que celle citée par ericc, elle permet d'éliminer w'=6 et w'=5, effectivement. On trouve la liste de ericc, avec w'=1 en plus...En posant
Une vérification rapide montre que
Cordialement,
Pour w'=4, une petite modification permet de le virer aussi:
Somme: 395
Produit = 2250000, de racine cubique 131, ce qui un poil en-dessous le tiers de 395
Mais les diviseurs les plus proches de 131 sont 125 et 150, et les deux font déborder...
Cordialement,
Mais je n'ai pas compris ce qui permettait à ericc de se limite aux valeurs de
En fait, la comparaison des moyennes sous forme générale ([tex]w[tex] n'étant pas supposé multiple de 79) conduit à
soit
Lorsque
Un facteur ne peut être multiple de
On a donc deux facteurs multiples de
Reste quelques cas à étudier à la main pour
–
–
–
–
–
–
–
–
–
sauf erreur de calcul dont je suis friand...
J'ai essayé de faire un programme qui test toutes les solutions mais il faut beaucoup trop de temps, comment t'as fait ambrosio?
En fait j'avais oublié le cas w'=1 !
Sinon comme w' est un diviseur de 900000000 inférieur strictement à 9, on a les valeurs que j'ai données, car w'=8 donne x+y+z=79 qui ne colle pas.
Il reste donc w=1,2,3,4,5,6. Mon raisonnement, mené correctement (merci MMy) permet d'écarter w'=5 et w'=6.
Je comprends que God's Breath a éliminé w'=1,2 ou 3.
Reste w'=4 ?
Je ne comprend pas le 319. Dans le cas w=79, la somme des trois autres est 632, qui n'exclut pas 625.
Lorsque
Un facteur ne peut être multiple de
On a donc deux facteurs multiples de
De même, tj dans le cas w=79, la somme des trois autres étant 632, 375 est possible, par exemple.
Je me trompe?
Cordialement,
J'en ai également fait un tout petit, pour m'amuser, certainement pas optimal et qui génère aléatoirement un vecteur de 4 entiers naturels satisfaisant les conditions "chaque nombre est inférieur à 711" et "la somme des 4 vaut 711"
Il lui a bien fallu 2 millions de générations aléatoires pour arriver au bon résultat mais je suis quand même content de moiCode:calcul <- function(x,somme=711,produit=711000000){ s <- sum(x) p <- prod(x) (s==somme)&(p==produit) } genere <- function(n=712) { x1 <- floor(runif(1,1,n-3)) x2 <- floor(runif(1,1,n-x1-2)) x3 <- floor(runif(1,1,n-x1-x2-1)) x4 <- 711-sum(x1,x2,x3) res <- c(x1,x2,x3,x4) ; if(sum(is.nan(res))==1) res <- 0 res } cond <- TRUE ; i <- 1 while(cond){ cat("itération ",i," : ",x <- genere(),",\t s = ",sum(x),", p = ",prod(x),"\n") cond <- !calcul(x) i <- i+1 }
c'est du R, je crois que c'est assez facile
à comprendre même si on ne connaît pas ce
logiciel.
rep(x,n) : repete n fois la valeur x
prod(x) : fait le produite des éléments de x
sum(x) : idem mais la somme
floor(x) : partie entière de x
runif(n) : renvoie n valeurs aléatoire uniformes sur [0,1]
tapply(x,y,fu) : applique parallèlement aux éléments de x
qui ont même valeur de la variable y la fonction fu
#x contient les facteurs premiers de 711000000
> x<-c(rep(2,6),rep(3,2),rep(5,6),7 9)
> x
[1] 2 2 2 2 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 79
#on vérifie que le produit est bien le bon
> prod(x)
[1] 7.11e+08
#la fonction fu découpe le vecteur x en quatre groupes
#de facteurs premiers, et fait la somme des produits
> fu
function(x){
partition<-floor(runif(length(x))*4)+1
return(list(partition=partitio n,somme=sum(tapply(x,partition ,prod))))
}
il suffit de lancer un grand nombre de fois fu(x) pour trouver la solution (moins de 1000 fois en pratique).
Ce n'est pas très malin parce que beaucoup de partitions
aléatoires reviennent au même, mais ça marche.
Dans le cas w'=4, soit w = 316, il reste x+y+z=395 et xyz = 2250000
Si une seule des inconnues est divible par 5, elle l'est par
Si deux seulement des inconnues sont divisibles par 5, la somme des trois ne peut l'être, ce qui n'est pas.
Donc les trois inconnues sont divisibles par 5. Reste encore 3 facteurs 5 du produit à répartir entre elles ; si on en accorde encore 1 à chacune, elle seront multiples de 25, leur somme aussi, ce qui n'est pas ; si on accorde les 3 facteurs à la même inconnue, elle est multiple de
La seule possibilité est
On a toujours
Si
Si
On obtient enfin l'unique solution (à permutation près...) :
316,150,120,125
Maintenant, on peut reprendre le raisonnement de G'B, en cherchant si on peut trouver 711-a79-b125 positif n'ayant que 2 et 3 comme diviseurs premiers, avec a entre 1 et 4
Je ne trouve rien de tel...
La question est alors à Ambrosio! S'il y a bien une solution, il y a un pb de raisonnement qq part...
Cordialement,
annulé.....
Oops, je n'avais pas vu la solution... Je vais voir où je me suis trompé...
Cordialement,
Un début de méthode qui ne fonctionne pas souvent, mais ici ça devrait marcher plutôt bien (je dis ça, mais je ne suis pas allé jusqu'au bout dans les calculs).
Si w,x,y et z sont proches, alors leur somme fait à peu près 4 fois w et leur produit fait à peu près w^4. On vérifie que la racine quatrième de 711000000 fait environ 163,3 et que 4 fois 163,3 fait dans les 653, soit pas très loin de 711. Or, plus la différence entre les termes w,x,y et z est grande, plus le rapport entre le produit et la somme des termes est grand. On en déduit que s'il existe une solution, les termes w,x,y,et z sont assez proches les uns des autres.
Ensuite, on factorise 711000000. On trouve que 79 est un facteur premier, mais on sait que les nombres w,x,y et z sont à peu près autour de 711/4=177,75. Il faut donc que parmi w,x,y et z on trouve un multiple de 79 pas trop éloigné de 177,75. A priori on peut tester w=79*2=158 qui est le plus proche. Sinon, on essaiera w=79*3=237, et il y a de très fortes chances pour que s'il n'y a pas encore de solution ici alors il n'en existe pas.
Pour déterminer x,y et z, on essaie encore de trouver des facteurs parmi les diviseurs de 711000000/79=9000000 qui sont assez proches de 177,75. Par exemple 160, 180, 200, etc.
C'est bien l'intérêt de manipuler directement l'inégalité entre les moyennes arithmétiques et géométriques : formaliser ce raisonnement, encadrer rigoureusement les solutions possibles, réduire le nombre de cas en utilisant des propriétés de divisibilité.
Et terminer "à la main" lorsque l'on estime que le nombre de cas subsistants est "suffisamment petit".
Une méthode améliorée de la précédente : pour déterminer l'amplitude maximale de w,x,y et z, on suppose que l'on a w=x=177.5, et on pose y=177.5+h et z=177.5-h. On obtient alors wxyz=177.5^4-177.5^2 h^2. Comme cette quantité doit être égale à 711000000, on obtient h=94,5. On en déduit que tous les termes w,x,y et z sont compris entre 83 et 272. Il ne reste plus qu'à chercher les diviseurs de 711000000 là-dedans.
