Problème d'itération

[PetiteAnne]

Bonsoir,

J'ai des soucis avec un exercice d'itération. En fait, je ne sais pas trop comment commencer (j'aimerais savoir surtout si ce que je compte faire comme 1ère étape est juste) et je serais très reconnaissante si quelqu'un pouvait me dire comment débuter ou si je fais fausse route. D'autant plus qu'il s'agit de la 1ère sous-question et je coince déjà ... Pas très encourageant pour moi pour ce genre d'exo.
Voici mon problème :

soit et A matrice nxn telle que :


autrement

Pour d>0, où A=P-N et N=diag. Soit une valeur propre de .
On doit prouver que non nul tel que où est le complexe conjugué de u et d'en conclure que toutes les valeurs propres de sont réels.

En fait, pour commencer, je me demandais si cela ne revenait pas à calculer directement les valeurs propres de A parce que je pense que les valeurs propres de A sont les même que celles de mais peut-être que je dis une grosse bêtise ... En tout cas, je pensais démarrer comme ça parce que prouver que j'ai l'impression que c'est par définition, je vois pas comment prouver ça ? Et puis ça me perturbe le car après tout c'est égal à |u|² et je vois pas l'intérêt de calculer ça mais apparemment il doit y en avoir.

Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'éclairer ? Merci.
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[invite70a4b09f]

Bonsoir faut pas te décourager et faire les calculs, tu peux pour facilement voir les choses prendre n=2.

[PetiteAnne]

Bonsoir faut pas te décourager et faire les calculs, tu peux pour facilement voir les choses prendre n=2.

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Seulement, le cas où n = 2 ne m'aide pas. C'est parce que je bloque dès le début ... Que ce soit avec n=2 ou n=1000, je ne vois pas comment prouver que --> c'est surtout cette 1ère équation qui me pose le plus gros problème parce que c'est à cause de cette équation qu'il faut prouver que je coince dès le début de l'exercice
et du coup, j'arrive encore moins à en déduire que n'a que des valeurs propres réelles --> (disons que pour ce point, on a que A est hermitienne et peut-être on peut en déduire que est hermitienne aussi ?? Et alors on a bien que leurs valeurs propres sont toutes réelles ?).
Mais comme on demande d'abord de prouver , je comprends pas ??

Quelqu'un pourrait-il m'aider (surtout avec les premières étapes à faire car après, je pourrais sans doute être lancée sur la bonne voie et comprendre le reste seule) ? Mais là j'ai vraiment besoin d'aide.

[invite70a4b09f]

Bonjour
Pour cette question les choses sont faciles il suffit d'utiliser la définition d'une valeur propre et la définition de la matrice A. Bonne rédaction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PetiteAnne]

Le problème c'est que je ne vois pas ce qu'il y a de simple à prouver car même si je me sers des définitions de valeurs propres, vecteurs propres, ...
tout ce que je peux dire en servant de ces définitions est sans doute faux :

Je me vois mal dire que pour démontrer , j'ai que par définition que est la valeur propre de P et que est le vecteur propre de P ?
Je sais bien que ce que je viens d'écrire ici est faux mais c'est pour expliquer pourquoi je coince pour ce qui est de démontrer que
Je ne vois pas pas quoi commencer et les définitions ici ne m'aident pas ...

[invite70a4b09f]

Bonjour
le problème est de bien comprendre les définitions il faut pas confondre un scalaire et un vecteur, en utilisant les données du problème, vecteur propre tel que c'est à dire et par suite je te laisse déduire l'expression de la matrice M. J'espère que cela te permet d'avancer dans ton exercice.

[PetiteAnne]

Bonjour
le problème est de bien comprendre les définitions il faut pas confondre un scalaire et un vecteur, en utilisant les données du problème, vecteur propre tel que c'est à dire et par suite je te laisse déduire l'expression de la matrice M. J'espère que cela te permet d'avancer dans ton exercice.

Merci ! Oui ça m'aide beaucoup (même si j'arrive pas encore à finir cet exercice mais au moins, je sais par quoi commencer ).

Arrivé à , j'écris ssi
Par ailleurs, permet aussi de trouver que d'où est donc valeur propre de N.
Revenons à où dès lors on trouve que -->
S'ensuit que d'où avec alors au final
Ca paraît quand même bizarre ... et j'ai pas encore utilisé le complexe conjugué de u ...

Est-ce que vous pourriez encore m'éclairer, s'il vous plaît ?

[invite70a4b09f]

Faut que tu saches clairement ce que tu recherches dans un exercice d'analyse matricielle, en effet ici il faut trouver un vecteur u et une matrice M qui vérifient comme je t'ai indiqué pas besoin de chercher u il suffit de le prendre comme le vecteur propre associé à , reste maintenant à déterminer une expression de , je ne comprends pas tes déductions, on voit facilement que .

[PetiteAnne]

Faut que tu saches clairement ce que tu recherches dans un exercice d'analyse matricielle, en effet ici il faut trouver un vecteur u et une matrice M qui vérifient comme je t'ai indiqué pas besoin de chercher u il suffit de le prendre comme le vecteur propre associé à , reste maintenant à déterminer une expression de , je ne comprends pas tes déductions, on voit facilement que .

Ah oui, juste, je me suis embarquée dans un peu n'importe quoi plus haut ... Encore merci !

Donc, si je reprends je peux écrire Et là je dois en déduire que les valeurs propres sont toutes réelles.
Mais j'ai plusieurs questions :

1) Est-ce que cela prouve bien que ?
2) Est-ce qu'il y aurait moyen de prouver que est hermitienne à partir du fait que A=P-N est hermitienne ? C'est dans le but de prouver que les valeurs propres sont réelles.
3) Pourquoi doit-on écrire absolument au lieu de simplement ? Qu'est-ce que cela change ?