Morphisme d'espaces annelés

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

J'aimerais que vous me clarifier un point dans la définition suivante :

Un morphisme entre deux espaces localement annelés et est la donnée d'une application continue et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux tel que pour tout , le morphisme d'anneaux induit par soit un morphisme d'anneaux locaux.

Voiçi ce que je ne comprends pas dans cette définition :

est un morphisme entre deux faisceaux de , c'est à dire entre un faisceau de et un faisceau , du même .
Pourquoi alors ce morphisme induit un morphisme d'anneaux qui n'a aucun lien direct avec : , mais fait introduire qui est un anneau local relativement à et non à , et ce dernier induit qui est un morphisme entre deux faisceaux de et donc n'a rien à avoir avec l'anneau local : qui résulté de ?

Merci d'avance.
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[invite47ecce17]

Parce qu'il y a une application naturelle de dans

[azizovsky]

Bonsoir, on sent la musique de A. Grothendieck .

[invitecbade190]

Bonjour,

Merci à vous deux de m'avoir répondu. J'ai une autre question si vous me permettez :
Si est un schéma, et un ouvert affine de , pourquoi : ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

C'est pratiquement la définition d'un ouvert affine.

[invitecbade190]

Bonsoir MiPaMa :
Merci d'abord pour m'avoir répondu.
Voiçi ce que je pense de cette question :
Pour être rigoureux, voici la démarche à suivre :
Soit . Alors, on fait correspondre à son idéal premier : , Ainsi : . et on définit ainsi une flèche qui va de : vers .
Ensuite, on montre que est injective et surjective et par conséquent : est bijective. Par conséquent : , non ?
Merci d'avance.

[invite47ecce17]

Ce que tu ecris n'a pas trop de sens.
Par definition un schéma est localement isomorphe en tant qu'espace annelé à un schéma affine, un ouvert qui est isomorphe a un schéma affine est appelé ouvert affine et donc par défintion un ouvert affine verifie (U,O_X|U) isomorphe a un certain (Spec A,O_{Spec A}) où O_X|U désigne la restriction du faisceau structural de X à U, qui es definie par O_X|U(V)=O_X(V) pour tout ouvert V de U (qui est donc un ouvert de X aussi).
Comme pour un schema affine O_{Spec A}(Spec A)=A tu as U=Spec O_X|U(U)=Spec O_X(U)

[invitecbade190]

Oui, merci, tu as raison, j'ai vu ça en cours.
Peux tu m'expliquer un peu pourquoi, ça n'a pas de sens ce que j'ai écrit ? ( Je débute en théorie des schémas )
Merci d'avance.

[invite47ecce17]

C'est pas tellement que ca a pas trop de sens, c'est que tu ne repond pas a la question que tu te poses, deja il faudrait verifier que ce que tu appelles p est bien un element de Spec O_X(U), ensuite, il ne faut pas montrer que \varphi est une bijection, mais un isomorphisme d'espace annelé, et pour ca tu dois definir un morphisme d'espace annelé, pas une application ensembliste et ensuite montrer que c'est un isomorphisme.
Mais tout ca est tautologique, par definition d'un schema.

[invite47ecce17]

En fait dans ta preuve on ne voit pas ou tu proposes d'utiliser le fait que l'ouvert U est affine (le resultat est bien sur faux si l'ouvert n'est pas affine), et si tu utilises le fait que l'ouvert est affine... alors y a plus rien a faire.

[invitecbade190]

Merci pour ces précisions MiPaMa.

Il y'a un petit paragraphe dans mon cours que je n'arrive pas à comprendre, est ce que tu peux me l'expliquer.
Voici le paragraphe en question :

En tant que - module, est libre et admet pour base la famille des monômes de la forme : où : . Fixons : .
Un élément de peut s'écrire comme un polynôme en les variables : pour si et seulement si son écriture dans la base évoquée ne fait intervenir que les monômes de degré total nul où seul est autorisé à avoir un exposant négatif. Il est immédiat que seul les constantes peuvent satisfaire cette condition pour tout .

Merci d'avance pour votre aide.

[invite47ecce17]

Heu, tu utilises i pour deux choses differentes j'ai l'impression, si tu fixe i qu'est ce que c'est le produti de T_i?

[invitecbade190]

Je ne sais pas. C'est écrit ici : webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/fusion-polys.pdf à la page : , paragraphe : Les fonctions globales sur : .
Merci d'avance pour votre aide.

[invite47ecce17]

OKay, lui et toi utilisez i pour deux choses differentes c'est pas bien grave cela dit.
Que ne comprend tu pas dans ce laius?

[invitecbade190]

Je ne comprends pas tout le paragraphe que j'ai écrit dans un poste plus haut.

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Pourriez vous me dire s'il existe une erreur à la page : du pdf plus haut où il est dit que :

Définition :

Soient et deux espaces annelés.
Un morphisme d'espaces annelés de vers est constitué d'une application continue et d'une donnée supplémentaire que l'on peut présenter de trois façons différentes, dont l'équivalence résulte des définitions et de l'adjonction entre et :
- Un morphisme de faisceaux d'anneaux de vers
... etc.

Pourriez vous m'expliquez pourquoi le passage suivant : Un morphisme de faisceaux d'anneaux de vers , ne présente aucune erreur surtout que : et présentent deux faisceaux d'un même espace . Est ce que c'est normal ?

Merci d'avance.

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

J'aimerais que vous me clarifier un point dans la définition suivante :

Un morphisme entre deux espaces localement annelés et est la donnée d'une application continue et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux tel que pour tout , le morphisme d'anneaux induit par soit un morphisme d'anneaux locaux.

Voiçi ce que je ne comprends pas dans cette définition :

est un morphisme entre deux faisceaux de , c'est à dire entre un faisceau de et un faisceau , du même .
Pourquoi alors ce morphisme induit un morphisme d'anneaux qui n'a aucun lien direct avec : , mais fait introduire qui est un anneau local relativement à et non à , et ce dernier induit qui est un morphisme entre deux faisceaux de et donc n'a rien à avoir avec l'anneau local : qui résulté de ?

Merci d'avance.

Pourquoi : au lieu de ou ?
Merci d'avance.