Comment calculer le volume d'un cube inscrit dans une sphère ?

[dlezin]

comment calculer le volume d'un cube inscrit dans une sphère ?
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[Ashrod]

Bonsoir,

J'aurais pensé que cette question serait plutôt dans Lycée...

Bref, si je comprend bien , il faut calculer le volume d'un cube inscrit dans une sphère de rayon donné.

Que peux-tu dire des diagonales du cube ?

[dlezin]

Il n'y a pas de rayon donné. Dans ce cas, ce serait assez facile...

Par ailleurs, le mot "inscrit" peut prêter à confusion, et pour être plus précis, de dirai plutôt "inclus".

Merci de votre aide.

Cordialement, dlezin.

[gg0]

Bonsoir.

"Soit une sphère dont on ne sait rien. Calculer le volume d'un cube qui est inclus dans la sphère"
Réponse : ça dépend.

Bon sérieusement, si tu ne connais pas le rayon de la sphère, ou ntout autre renseignement qui permet de le calculer, ça revient à mon énoncé idiot.

Donc dis-nous quel est exactement l'énoncé. Si ce n'est pas le mot inscrit, il va falloir tout dire; car c'est le mot pour dire que les sommets du cube sont sur la sphère.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

oui, j'ai une autre question :
calculer l'age du capitaine.?
ps : on ne connait même pas la taille du bateau ( même si ça n'a rien à voir )

[ansset]

@dlezin:
à défaut de rayon, on peut aussi calculer le volume du carré "inscrit" ( touchant les bords par ses sommets ) en fct du volume de la sphère par exemple.
ce qui revient à un calcul similaire.
mais il faut bien une dimension ( quelle qu'elle soit ) de référence.

[topmath]

Bonjour :

Peut etre que la question est comme suite : autrement .

Cordialement

[dlezin]

"Soit une sphère dont on ne sait rien. Calculer le volume d'un cube qui est inclus dans la sphère"

C'est bien cela. Le problème est correctement posé.

On connait la formule du calcul du volume d'une sphère, ainsi que celui du volume d'un cube.

Partant de là, il ne peut y avoir qu'un cube qui soit inclus dans la dite sphère.

Le problème est donc de calculer quelle est la valeur du coté de ce cube.

Il doit y avoir une question de proportion puisque quelle que soit la dimension de la sphère, il ne peut y avoir qu'un seul cube qui lui corresponde.

Merci de me répondre.

Cordialement.

PS : Le problème inverse est, lui, facile.
Calculer le volume d'une sphère incluse dans un cube.
Puisque le diamètre de la sphère est égal au coté du cube... Le reste va de soi.

[gg0]

"Partant de là, il ne peut y avoir qu'un cube qui soit inclus dans la dite sphère. " ???

Dans une sphère de rayon non nul, dans l'intérieur d'une telle sphère, on peut placer une infinité de cubes. Sur la sphère elle-même, qui est à deux dimensions, on ne peut placer qu'un cube qui n'a pas trois dimensions, donc un cube de côté nul, réduit à un point. Mais alors, on ne dit pas "dans", mais "sur".

Ce que tu écris perd de plus en plus de sens, au fur et à mesure de tes interventions. On finit par se demander si tu sais ce que tu veux.

La détermination des dimensions d'un cube inscrit dans une sphère (il y a une infinité de tels cubes, tous de même dimension) est un problème de collège, pour lequel tu as eu une indication très suffisante.

Ton problème inverse n'est pas formulé correctement, tu parles d'une sphère inscrite dans un cube. les sphères incluses dans le cube ont tous les diamètres possibles, de 0 jusqu'au côté du cube.

[danyvio]

Un petit dessin n'a jamais fait de mal à personne. par exemple représenter la coupe de l'ensemble sphère-cube passant par le centre de la sphère, et parallèle à un côté du cube. Un soupçon de trigo niveau troisième suffit pour la suite, IE déterminer le côté du cube en fonction du rayon de la sphère. ..

[minushabens]

annulé (encore une trivialité dont j'aurais pu me dispenser)

[dlezin]

Bonjour, en fouillant sur le Net, j'ai trouvé un problème apparenté.

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-496157.html

ou mieux encore car c'est mon problème :

http://serge.mehl.free.fr/exos/cube_inscrit.html

mais, à ma grande honte, je n'ai pas tout compris...

j'ai dû perdre quelques boulons en me penchant trop !

Si quelqu'un peut m'expliquer ?

Merci d'avance.

Cordialement, dlezin.

[gg0]

Donc c'est bien un cube inscrit dans la sphère.
Ashrod t'a donné la méthode il y a plus de 25 heures, tu n'as pas voulu t'en servir. Pourtant pour connaître le volume du cube, il suffit de connaître son côté c. Et avec le théorème de Pythagore, on trouve facilement le rapport entre ce côté et une diagonale du cube, qui est (cf Ashrod) un diamètre de la sphère.

Donc tu as perdu bêtement 24 heures en racontant n'importe quoi au lieu de réfléchir à l'indication qui t'a été donnée. Mets-toi immédiatement au travail, sur ta feuille, chez toi, pas en venant baratiner ici. Tu ne crois quand même pas qu'on va faire le travail à ta place (voir le règlement du forum).

[dlezin]

re-Bonjour,

Merci de ces éclaircissements. Comme vous le dites, je vais me mettre à ma feuille.

Toutes mes excuses pour vous avoir fait perdre du temps.

Cordialement, dlezin.

[Kevin.dernoncourt]

C'est plutôt simple à vrai dire, comme cité plus haut, il suffit simplement d'appliquer Pythagore 2 fois...
Diagonale du cube = 2R, 4R² vaut la somme de deux choses, une que tu cherches et l'autres que tu dois calculer en fonction de ce que tu cherches
Plus concrètement, pythagore dit ici => 4R²= c² + d² avec c un côté et d la diagonale du carré à la base
Puis tu recommences avec d, d'où d²= c²+c².

Tu remplaces plus haut, tu auras la valeur d'un côté en plaçant une belle racine carrée, et puis c'est tout. Une fois que tu as la valeur d'un côté, tu appliques ta formule pour avoir le volume du cube. Par contre attention, ça a l'air flou => Inclus = Contenu dans, Inscrit = Inclus avec les sommets appartenant à
Pour l'exemple, tu as un seul cube inscrit dans ton cercle (en fait non, par rotation tu en as une infinité mais bon), tandis que tu as une multitude de cube inclus, tous différents, dont ton cube inscrit.
Cordialement, Kevin.

[ansset]

ben, il me semble qu'il y a plus rapide avec une toute simple formule de trigo à la base ( en prenant un cube "à plat" inscrit dans la sphère )
et pour se faire une idée il suffit de dessiner ça en 2D d'abord.

[gg0]

Désolé, Ansset,

je ne comprends pas. Je ne sais pas ce que c'est qu'un cube "à plat" (pour moi, un cube n'est jamais plat). Calculer la longueur d'une diagonale de cube en utilisant 2 fois le théorème de Pythagore est quand même très simple. Il faut aussi, si on veut bien justifier, utiliser une justification par symétrie (présente dans le document de Serge Mehl trouvé par Dlezin).
Et la mesure des angles dans l'espace, ce n'est pas toujours simple.

Cordialement.

[topmath]

Bonjour;

A fin de donné une idée d'une infinitée de cubes dans une sphère par rotation .

Cordialement

[ansset]

@topmath:
le titre precise "un cube" , et ne dit pas qu'il est unique.
@gg0:
quand je dit à plat j'entend "à l'horizontal" )
les deux approches sont possibles , mais passer par Rcos(pi/4) ( ou 2Rcos(pi/4)) me semblait plus visuel, en visualisant la diagonale.

[gg0]

Heu ... la diagonale du cube ne fait pas un angle de pi/4 avec les côtés ou les faces. Ce sont les diagonales des faces, qui font cet angle avec les côtés.
Dans le cube ABCDEFGH, où AE et BF sont des arêtes, le triangle AEG (AG est une diagonale) n'est pas isocèle.

Cordialement.

[ansset]

il me semble que tu avais compris ce que je voulais dire.
mais si tu souhaite que je te fasse le calcul ( tu me prends pour un élève de CM2 ? ) , je veux bien te le faire en 2 lignes.

[ansset]

mais j'avoue m'être très mal exprimé.

[dlezin]

Bonjour,

Merci beaucoup Kevin, tes explications sont très claires. Tu es un bon professeur plein de psychologie et j'ai tout compris, ce qui est d'ailleurs le but.

Merci encore.

Cordialement, dlezin.

[gg0]

Désolé,

mais je n'ai pas trop compris de quoi tu parles. On peut effectivement remplacer le théorème de Pythagore par de la trigo pour calculer la longueur d'une diagonale de face, mais je ne vois pas pour la diagonale d'un cube. Je suis peut-être à côté de la plaque, mais je ne vois pas. Je ne sais pas ce que sont tes "Rcos(pi/4) ( ou 2Rcos(pi/4))", faute de savoir quel angle de Pi/4 est en cause.
Et le calcul que je propose est très simple : Avec les notations ci dessus, on calcule AE², puis AG².

Cordialement.

[ansset]

super,
qu'obtiens tu comme résultat ?

[ansset]

@ggo:
j'ai fait une boulette.
j'ai cru resoudre le pb de tête avec deux projections face et haut, mais avec une erreur de base.
dnc j'arrivais intuitivement à un rapport de cos²(pi/4) (0,5) ce qui n'est pas le bon résultat, qui est rac(3)/4 soit env 0,43
shame on me.
ps : pour beaucoup d'exercices de lycée, je m'amuse à essayer de les faire uniquement de tête , et ça me joue des tours.

[ansset]

@ggo:
j'ai fait une boulette.
j'ai cru resoudre le pb de tête avec deux projections face et haut, mais avec une erreur de base.
dnc j'arrivais intuitivement à un rapport de cos²(pi/4) (0,5) ce qui n'est pas le bon résultat, qui est rac(3)/4 soit env 0,43
shame on me.
ps : pour beaucoup d'exercices de lycée, je m'amuse à essayer de les faire uniquement de tête , et ça me joue des tours.

pour le rapport des distances bien sur, pas pour le volume.

[gg0]

Ansset,

je me doutais de quelque chose comme ça, ce genre d'erreur m'arrive aussi. mais dans l'espace, j'utilise toujours des représentations, sinon je me plante.

Cordialement.

NB : Dlezin a eu ce qu'il voulait; quelqu'un qui lui dit quoi faire, sans qu'il ait à essayer de trouver seul.

[Ashrod]

Puisqu'une réponse à été donnée, je présume que je peux donner ma version...

Comme cette question est dans "Supérieur", je vais nécessairement considérer qu'aucun des points suivants ne requiert plus d'information que ce que je précise.

1. Tout d'abord, considérons une sphère de rayon r donné, même s'il est inconnu.
2. Comme ma première intervention le faisait remarquer, la diagonale du cube correspond au double de ce rayon (pour être plus précis, il s'agit du diamètre d'un des cercles passant par les deux extrémités de la diagonale sur la sphère).
3. Je change temporairement de repère et je me place à une des extrémités du cube, à cet endroit, j'ai un repère orthonormé droit qui est représenté par les arêtes du cube concourantes en ce point.
4. La diagonale du cube représente donc un vecteur de coordonnées (a; a; a) dans ce repère et par rapport à l'origine que je me suis fixée, a étant la valeur de l'arête du cube (je précise que a est positif).
5. Il se fait que le carré de la longueur de la diagonale est assez bien représenté par le carré scalaire dudit vecteur.
6. Donc, en combinant toutes ces informations, j'en déduis que la valeur du volume du cube en fonction du rayon de la sphère est .

Je laisse de côté l'épineuse question de la détermination du rapport des volumes des deux entités que sont cette sphère dont on ne connait pas grand chose et de ce cube qui n'est pas mieux loti de ce point de vue.

A bientôt

[ansset]

annulé : inutile