cylindre inscrit dans une sphère
Bonjour à tous.
Voici un exercice sur lequel j'ai quelques questions.
"On inscrit dans une sphère de centre O et de rayon R, un cylindre de hauteur h et de rayon r.
1) calculer le volume du cylindre en fonction de h. On le notera V(h).
2) Déterminer les dimensions,h et r, du cylindre de volume maximal inscrit dans la sphère.
3) Détrminer le pourcentage du volume de la sphère qu'occupe ce cylindre."
Pour la 1), j'ai trouvé :
V(h)= pi*r^2*h = pi*(R^2-(h^2)/4)*h= -(pi/4)h^3 + pi*R^2*h
2) Je pense qu'il faut dériver V(h), puis étudier le signe de la dérivée et dresser un tableau de signe afin de trouver quand le volume est maximal et pour quelle valeur de h.
Je trouve cela pour la dérivée V'(h) = - 3(pi/4)h^2 + pi*R^2
C'est juste ?
Si oui, c'est donc un trînome. Il faut donc que j'étudie son signe à l'aide de son discrimant et de ses éventuelles racines, non ? Ce qui donnerait un discrimant égal à 3*pi^2*R^2. Donc deux racines. Une seule positive égal à 2*rac3*R/3. Encore une fois, est-ce juste ?
Si oui, alors ça signifie que lorsque h est égal à cette racine, le volume est maximal ?
Merci à l'avance pour votre aide.
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