Exercices

[invite759c78a5]

Bonjour à tous,


Soit . Montrer que E est un groupe monogène.

J'ai montré que E était un groupe mais je n'arrive pas à montrer qu'il est homogène

Calculer

Soit G un sous-groupe de tel qu'il existe tel que où est la norme d'endomorphisme associée à la norme hermitienne sur . Montrer que les valeurs propres des matrices de G sont do module 1, montrer qu'il existe tel que

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre


Merci de m'aider
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[invite9dc7b526]

Pour le dernier exercice, l'idée c'est que si M a une valeur propre plus grande que 1, alors la suite des puissances de M finit par s'éloigner de I, alors que la condition sur la norme dit que les matrices de G sont à une distance moindre que 2 de I. Si M a une valeur propre plus petite que 1, son inverse doit avoir une valeur propre plus grande que 1 et on en est revenu au premier cas. A toi de mettre ça au propre (et de trouver à quoi sert la valeur 2)

[Seirios]

Pour le deuxième exercice, tu devrais commencer par regarder les premiers termes pour te faire une idée de la limite. Ensuite, remarque que . La limite de devrait te dire quelque chose

[invite759c78a5]

Merci de vos réponses,


Ok pour le deuxième exercice, je parviens au résultat !
Pour le troisième c'est assez flou outre l'explication empirique... Je ne vois pas à quoi sert la valeur 2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Qu'as-tu fait sur le troisième exercice ? À partir des indications de minushabens, tu devrais avoir pu trouver quelque chose.

[Seirios]

Une indication pour le premier exercice : S'il existe tel que , alors on peut montrer que l'application suivante est une injection

S'il n'existe pas un tel élément , on peut s'adapter en remplaçant par avec un bien choisi. On peut dès lors conclure puisque le groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.