Groupe spéciale orthogonal

[inviteb49b81fc]

Bonsoir,

Soit n ∈ {2, 3}. On note
O(n) = {M ∈ Mn(R) | M^tM = Id} le groupe orthogonal
et SO(n) = {M ∈ O(n) | det(M) = 1} le groupe spécial orthogonal.

Ma question est la suivante: Pour montrer que M est dans le groupe spécial orthogonal:
-suffit il de montrer que det(M)=1?
-ou bien il faut montrer que det(M)=1 et que M^tM = Id

Autrement dit: une matrice de déterminant 1 est elle nécessairement dans le groupe spécial orthogonal?

Merci
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[invitea40bd3ea]

Salut bambar ! Oui il faut montrer les deux ! Rappelle-toi qu'une une matrice du groupe orthogonal c'est-à-dire une matrice "orthogonale" conserve les normes ! Prends la matrice :

Son déterminant est bien égal à 1 et pourtant si tu poses le vecteur de norme le vecteur obtenu est de norme . Clairement cette matrice n'est pas une isométrie ! Il faudra donc, pour montrer qu'une matrice appartient au groupe spécial orthogonal, vérifier les deux critères, celui sur le déterminant et celui sur l'identité...

[Seirios]

À noter que l'ensemble des matrices de déterminant 1 correspondant usuellement au groupe spécial linéaire .

[inviteb49b81fc]

Réponse claire merci
Ce qui m'amène à une deuxième question:

Soit G le sous-groupe de GL3(R) engendré par les matrices :
(0 0 1)
(1 0 0) :=A
(0 1 0)

(1 0 0)
(0−1 0) :=B
(0 0−1)

Je peux aisément montrer que G est un sous-groupe de SO3(R).

Posons alors: x1:=(1,1,1) x2:=(1,-1,-1) x3:=(-1,1,-1) x4:=(-1,-1,1)

On veut montrer que l'ensemble X := {x1, x2, x3, x4} est stable par l'action naturelle de G
sur R3.
Est ce que ca signifie que je dois calculer toutes les combinaisons de A et B, puis vérifier que chacune de ces combinaisons est bien stable pour chacun des x à gauche et à droite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea40bd3ea]

Non moi à ta place ce que je ferai c'est que je montrerai que X est stable par A et B (c'est assez clair je pense) et a fortiori stable par toutes combinaisons de A et de B...

[inviteb49b81fc]

D'ailleurs j'ai dis "Je peux aisément montrer que G est un sous-groupe de SO3(R)." mais j'ai parlé un peu vite.
Pour le montrer il faut aussi que je construise la table de multiplication de G puis vérifier qu'il est stable par l'inverse et par la multiplication. Le principe est il juste?

[inviteb49b81fc]

X est stable par A et B (c'est assez clair je pense) et a fortiori stable par toutes combinaisons de A et de B...

Dans cet exercice c'est vrai mais dans le cas général es tu sûr de ton implication??

[invitea40bd3ea]

Mais par définition, comme tu l'as dit, c'est le sous-groupe engendré par ces deux matrices ! Du coup pas besoin de montrer que c'est un groupe, il l'est par construction !

[invitea40bd3ea]

Que veux-tu dire par cas général ?

[inviteb49b81fc]

En général: suffit il de vérifier la stabilité par A et par B, ou faut il aussi vérifier la stabilité pour tous les éléments engendrés par A et B?

[invitea40bd3ea]

Je t'avoue que je sais pas trop, pour un sous-groupe fini ou dénombrable je dirais qu'on peut généraliser (par récurrence), s'il est infini je sais pas...

[Seirios]

En général: suffit il de vérifier la stabilité par A et par B, ou faut il aussi vérifier la stabilité pour tous les éléments engendrés par A et B?

De manière générale, si est un groupe et un ensemble sur lequel agit, alors est stable par le sous-groupe dès qu'il est stable par et . En effet, tout élément de s'écrit sous la forme où et ou ; tu peux facilement faire une récurrence sur .

Cela répond bien à ta question ?

[invite47ecce17]

Bonjour,
Serios ta proposition en l'etat ne veux pas dire grand chose si G agit sur X, alors X est stable par tout sous groupe de G, sans condition.
Et si tu remplace ta proposition par Y (sous ensemble de X) est stable par <A,B> des qu'il est stable par A et par B, c'est faux.
Si tu prend l'action de Z sur Z donné par l'addition, alors N est stable par l'action de 1, mais certaintement pas par celle de <1>, il faut aussi verifier la stabilité par A^{-1} et B^{-1} dans la condition que tu donnes.

[inviteb49b81fc]

Oui Seirios ça répond à ma question. merci

[Seirios]

Serios ta proposition en l'etat ne veux pas dire grand chose si G agit sur X, alors X est stable par tout sous groupe de G, sans condition.
Et si tu remplace ta proposition par Y (sous ensemble de X) est stable par <A,B> des qu'il est stable par A et par B, c'est faux.
Si tu prend l'action de Z sur Z donné par l'addition, alors N est stable par l'action de 1, mais certaintement pas par celle de <1>, il faut aussi verifier la stabilité par A^{-1} et B^{-1} dans la condition que tu donnes.

Je suis d'accord. Après, cela dépend de ce que l'on appelle stable. Si on veut dire que et , alors on a pas besoin de vérifier la stabilité par les inverses. Mais si on vérifie et , c'est entendu.