Schéma d'Euler explicite stabilité

[invite78a12817]

Bonjour,

Notre exercice porte sur le probleme de Cauchy:

x' = -tx
x(0) = x0

avec t appartenant à [0,T] T>0

On a montré que x = 0 est un equilibre stable.
Ensuite, nous avons programmer sur MATLAB le problème avec le schéma d'Euler explicite soit:

X(n+1) = X(n) + h(-t(n).X(n))
X0 = x0

En traçant la solution exacte et la solution approchée (avec un pas h = 0.3 pour commencer), nous observons qu'à partir d'un certain t, la solution approchée s'éloigne brutalement de la solution exacte, et ne tend pas vers 0. Ceci a lieu pour tous les h, sachant que lorsque h diminue, le t diminue.
Nous n'arrivons pas à nous expliquer pourquoi cela fait ça, ni quel est le rapport avec la stabilité de l'equilibre 0.

Sur la figure : En vert la solution exacte, en rouge la solution approchée calculée par Euler explicite
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[invite5161e205]

Je ne sais pas ce que vous avez pris pour t(n) dans votre simulation Matlab.
Toujours est-il que la solution de x'=-x.t étant une gaussienne : x= x0. e^(-t^2/2)
Si vous prenez t=100, vous voyez que t^2/2 = 5000, donc x= x0. e^(-5000) ce qui est un nombre "extrêmement" petit
Vous avez manifestement atteint les limites de Matlab en terme de résolution de calcul.

Contentez vous de rester dans 0=<t=<10.

[invite78a12817]

C'est bien ce qu'on a pris pour la solution exacte. On est sur l'intervalle [0,T]
En fait dans l'exercice on nous demande de programmer le schéma d'euler explicite, puis la question est :
L'équilibre x=0 est il toujours stable ? Tester avec différentes valeurs de T et différentes conditions initiales.
Justifier analytiquement ce résultat


Nous ne comprenons pas le rapport entre la stabilité de l'équilibre 0 et le schéma d'euler.
Si on prend des T petits schéma converge sans problème. La seule "anomalie" observée est ce pique que nous n'arrivons pas à
expliquer.