demonstration de stabilité, methode d'Euler

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

Je suis totalement débutant en se qui concerne la stabilité des méthodes de résolution d'equadiff.

J'ai cherché sur le net pour voir si je trouvais un cours expliquant comment procéder pour la démonstration de la stabilité d'un algorithme mais je n'ai rien trouvé à part quelques piste: recherche de valeurs propres, transformée de Fourier.

Je sollicite votre aide donc pour deux choses:
=> Avez vous un lien vers un cours complet traitant de ces problèmes de stabilité?
=> Pouvez vous me donner la demonstration de la stabilité par exemple du schéma d'Euler?

J'espere que vous pourrez m'aider car franchement je suis pommé


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[inviteae4072e1]

Je ne connaît pas de critère de "stabilité" associé aux méthodes numériques. Par contre vitesse de convergence...

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Concernant les méthodes numériques on définit les notions de "stabilité" ou de "sensibilité" pour exprimer la propension de la méthode à limiter propager/amplifier les erreurs.

cf ce pdf: METHODES NUMERIQUES, Elements d'un premier parcours, J-M HURE, Didier PELAT

Dans ce document, il est expliqué au chapitre 2.5 comment définir un nombre de conditionnement, rendant compte du pouvoir amplificateur de la méthode, et donc de sa stabilité.

En espérant que cela aide,

Bon courage!

[membreComplexe12]

Bonjour,

Concernant les méthodes numériques on définit les notions de "stabilité" ou de "sensibilité" pour exprimer la propension de la méthode à limiter propager/amplifier les erreurs.

cf ce pdf: METHODES NUMERIQUES, Elements d'un premier parcours, J-M HURE, Didier PELAT

Dans ce document, il est expliqué au chapitre 2.5 comment définir un nombre de conditionnement, rendant compte du pouvoir amplificateur de la méthode, et donc de sa stabilité.

En espérant que cela aide,

Bon courage!

merci beaucoup; je vais regarder cela

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

J'ai regardé le lien il explique bien le cas générale, merci.

==> Il y a par contre la formule 2.11 que je comprends pas trop comment elle vient [VOIR PIECE JOINTE]

[membreComplexe12]

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

[Plume d'Oeuf]

De rien, j'ai été confronté à discuter de la pertinence de méthodes numériques récemment et ce papier m'a largement aidé.

==> Il y a par contre la formule 2.11 que je comprends pas trop comment elle vient [VOIR PIECE JOINTE]

Il s'agit juste d'une erreur relative sur f. Fais une petite recherche sur google, tu comprendras tout de suite.

Bon courage!

[Plume d'Oeuf]

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

Je suis désolé je ne pourrais pas aller plus loin que le papier que je t'ai donné pour le moment. Je ne suis pas assez calé en méthodes numériques pour pouvoir en discuter réellement.

En espérant que quelqu'un d'autre puisse t'apporter son aide.

Bon courage!

[membreComplexe12]

Je suis désolé je ne pourrais pas aller plus loin que le papier que je t'ai donné pour le moment. Je ne suis pas assez calé en méthodes numériques pour pouvoir en discuter réellement.

En espérant que quelqu'un d'autre puisse t'apporter son aide.

Bon courage!

merci en tout cas

[membreComplexe12]

je me permets un up:

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

[Scorp]

Apparement, tu n'avais pas bien compris la discussion "stabilitié du schéma de Newmark". Je vais donc te faire le calcul complet, comme ca, ca te donnera une idée claire de la méthode. Je t'invite quand même à retourner voir cette discussion (rappel de la méthode, des notations etc...) :http://forums.futura-sciences.com/ma...e-newmark.html

Pour rappel, j représente la discrétisation en espace, et n celle en temps.
On commence par construire, à partir de ta suite la fonction constante par morceau : pour x compris dans

On utilise la norme L² suivante :

Def : On dira que le schéma numérique est stable L² s'il existe un réel strictement positif C indépendant de et tel que pour tout entier n on ait :

On rappelle que la stabilité se fait avec un second membre pris à 0 (cf. discussion sur Newmark)

L'idée est ensuite d'utiliser la transformée de Fourier. Je te laisse montrer (ou chercher sur le net) la propriété suivante : la transformée de fourier conserve la norme L².

On a donc pour la transformée la relation suivante :
On peut également montrer que le changement de variable en espace donne :


Considérons maintenant le schéma suivant (c'est un schéma généralisé, mais tu peux remarquer que le schéma d'Euler y correspond bien) :
On introduit alors les fonctions constantes par morceaux construites en début de post, ce qui donne simplement :


Puis on utilise les transformées avec les propriétés vues plus haut, soit :
qu'on peut récrire en faisant apparaitre un terme d'amplification g() :


Par récurrence et passage à la norme L², on arrive donc à

On arrive donc à la conclusion que le schéma numérique est stable L² si , le rapport restant fixe.

Voila la méthode générale pour la stabilité. C'est un peu compliqué comme ca. Le but est de comprendre le principe, le reste étant uniquement du calcul (certes un peu lourd, mais bon...). Par exemple, essayes de montrer que le facteur d'amplifcation du schéma d'Euler explicite est :
Que peux tu en déduire de la stabilité de ce schéma ?

Idem, tu peux montrer que le facteur d'amplification pour le schéma Euler implicite est : . Que peux tu dire de la stabilité de ce schéma ?

[membreComplexe12]

Avant tout merci enormement pour tes explications c'est vraiment tres gentil !

Apparement, tu n'avais pas bien compris la discussion "stabilitié du schéma de Newmark".

Le sens general du poste de Newmark j'avais compris mais pour le developpement pas trop....

Par exemple, essayes de montrer que le facteur d'amplifcation du schéma d'Euler explicite est :

Que peux tu en déduire de la stabilité de ce schéma ?

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

Idem, tu peux montrer que le facteur d'amplification pour le schéma Euler implicite est : . Que peux tu dire de la stabilité de ce schéma ?

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

[membreComplexe12]

à l'heure où j'ecris j'ai pas eu le courage de bien me plonger dans la demonstration mathematique, je le ferai à tete reposée mais à present j'ai bien compris la demarche.

Merci beaucoup!!!

[Scorp]

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

Dans le premier cas, g n'est pas toujours inférieure (en valeur absolue) à 1. Si tu prend le sin()=1, alors tu te retrouves avec qui peut être plus grand que 1

Tu retrouves ainsi la condition CFL qui détermine la stabilité du schéma Euler explicite : il faut que

Le second exemple est lui par contre bien toujours stable.

Cette différence entre les deux schémas d'Euler (implicite et explicite) est vraiment importante car elle va conditionner l'emploie de tel ou tel schéma. Notamment, on voit que si est petit (normal vu qu'on veut avoir un minimum de précision), alors la condition trouvée devient assez contraignante puisqu'elle nous impose un pas de temps très petit (ce qui peut aboutir à des temps de calculs longs, car il faudra plus d'itérations)

[membreComplexe12]

merci beaucoup scorp c'est tres gentil de ton aide!