demonstration de stabilité, methode d'Euler

invite9c7554e3 · 31/03/2010, 11h39

Bonjour tous,

Je suis totalement débutant en se qui concerne la stabilité des méthodes de résolution d'equadiff.

J'ai cherché sur le net pour voir si je trouvais un cours expliquant comment procéder pour la démonstration de la stabilité d'un algorithme mais je n'ai rien trouvé à part quelques piste: recherche de valeurs propres, transformée de Fourier.

Je sollicite votre aide donc pour deux choses:

=> Avez vous un lien vers un cours complet traitant de ces problèmes de stabilité?
=> Pouvez vous me donner la demonstration de la stabilité par exemple du schéma d'Euler?

J'espere que vous pourrez m'aider car franchement je suis pommé

inviteae4072e1 · 01/04/2010, 12h04

Je ne connaît pas de critère de "stabilité" associé aux méthodes numériques. Par contre vitesse de convergence...

invitee4ef379f · 01/04/2010, 12h38

Bonjour,

Concernant les méthodes numériques on définit les notions de "stabilité" ou de "sensibilité" pour exprimer la propension de la méthode à limiter propager/amplifier les erreurs.

cf ce pdf: METHODES NUMERIQUES, Elements d'un premier parcours, J-M HURE, Didier PELAT

Dans ce document, il est expliqué au chapitre 2.5 comment définir un nombre de conditionnement, rendant compte du pouvoir amplificateur de la méthode, et donc de sa stabilité.

En espérant que cela aide,

Bon courage!

invite9c7554e3 · 01/04/2010, 13h49

Envoyé par Plume d'Oeuf

Bonjour,

Concernant les méthodes numériques on définit les notions de "stabilité" ou de "sensibilité" pour exprimer la propension de la méthode à limiter propager/amplifier les erreurs.

cf ce pdf: METHODES NUMERIQUES, Elements d'un premier parcours, J-M HURE, Didier PELAT

Dans ce document, il est expliqué au chapitre 2.5 comment définir un nombre de conditionnement, rendant compte du pouvoir amplificateur de la méthode, et donc de sa stabilité.

En espérant que cela aide,

Bon courage!

merci beaucoup; je vais regarder cela

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9c7554e3 · 02/04/2010, 11h04

J'ai regardé le lien il explique bien le cas générale, merci.

==> Il y a par contre la formule 2.11 que je comprends pas trop comment elle vient [VOIR PIECE JOINTE]

invite9c7554e3 · 02/04/2010, 11h07

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

invitee4ef379f · 02/04/2010, 12h57

De rien, j'ai été confronté à discuter de la pertinence de méthodes numériques récemment et ce papier m'a largement aidé.

Envoyé par 21did21

==> Il y a par contre la formule 2.11 que je comprends pas trop comment elle vient [VOIR PIECE JOINTE]

Il s'agit juste d'une erreur relative sur f. Fais une petite recherche sur google, tu comprendras tout de suite.

Bon courage!

invitee4ef379f · 02/04/2010, 13h00

Envoyé par 21did21

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

Je suis désolé je ne pourrais pas aller plus loin que le papier que je t'ai donné pour le moment. Je ne suis pas assez calé en méthodes numériques pour pouvoir en discuter réellement.

En espérant que quelqu'un d'autre puisse t'apporter son aide.

Bon courage!

invite9c7554e3 · 02/04/2010, 14h33

Envoyé par Plume d'Oeuf

Je suis désolé je ne pourrais pas aller plus loin que le papier que je t'ai donné pour le moment. Je ne suis pas assez calé en méthodes numériques pour pouvoir en discuter réellement.

En espérant que quelqu'un d'autre puisse t'apporter son aide.

Bon courage!

merci en tout cas

invite9c7554e3 · 04/04/2010, 14h27

je me permets un up:

Lors de calculs de stabilité j'ai entendu très souvant parlé de calcul de valeurs propres et rayon spectrales, où encore de démonstration de stabilité à l'aide de la transformée de Fourier.

1°) Pourriez vous l'expliquer pourquoi ?

2°) Si possible es ce que je peux avoir l'exemple sur un cas simple type methode d'Euler ?

Merci d'avance pour votre aide

invite6f25a1fe · 04/04/2010, 15h53

Apparement, tu n'avais pas bien compris la discussion "stabilitié du schéma de Newmark". Je vais donc te faire le calcul complet, comme ca, ca te donnera une idée claire de la méthode. Je t'invite quand même à retourner voir cette discussion (rappel de la méthode, des notations etc...) :http://forums.futura-sciences.com/ma...e-newmark.html

Pour rappel, j représente la discrétisation en espace, et n celle en temps.
On commence par construire, à partir de ta suite $\text{[math]}$ la fonction constante par morceau : $\text{[math]}$ pour x compris dans $\text{[math]}$

On utilise la norme L² suivante : $\text{[math]}$

Def : On dira que le schéma numérique est stable L² s'il existe un réel strictement positif C indépendant de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que pour tout entier n on ait : $\text{[math]}$

On rappelle que la stabilité se fait avec un second membre pris à 0 (cf. discussion sur Newmark)

L'idée est ensuite d'utiliser la transformée de Fourier. Je te laisse montrer (ou chercher sur le net) la propriété suivante : la transformée de fourier conserve la norme L².

On a donc pour la transformée $\text{[math]}$ la relation suivante : $\text{[math]}$
On peut également montrer que le changement de variable en espace donne :
$\text{[math]}$

Considérons maintenant le schéma suivant (c'est un schéma généralisé, mais tu peux remarquer que le schéma d'Euler y correspond bien) : $\text{[math]}$
On introduit alors les fonctions constantes par morceaux construites en début de post, ce qui donne simplement :
$\text{[math]}$

Puis on utilise les transformées avec les propriétés vues plus haut, soit :
$\text{[math]}$ qu'on peut récrire en faisant apparaitre un terme d'amplification g() :
$\text{[math]}$

Par récurrence et passage à la norme L², on arrive donc à $\text{[math]}$

On arrive donc à la conclusion que le schéma numérique est stable L² si $\text{[math]}$ , le rapport $\text{[math]}$ restant fixe.

Voila la méthode générale pour la stabilité. C'est un peu compliqué comme ca. Le but est de comprendre le principe, le reste étant uniquement du calcul (certes un peu lourd, mais bon...). Par exemple, essayes de montrer que le facteur d'amplifcation du schéma d'Euler explicite est : $\text{[math]}$
Que peux tu en déduire de la stabilité de ce schéma ?

Idem, tu peux montrer que le facteur d'amplification pour le schéma Euler implicite est : $\text{[math]}$ . Que peux tu dire de la stabilité de ce schéma ?

invite9c7554e3 · 05/04/2010, 00h41

Avant tout merci enormement pour tes explications c'est vraiment tres gentil !

Envoyé par Scorp

Apparement, tu n'avais pas bien compris la discussion "stabilitié du schéma de Newmark".

Le sens general du poste de Newmark j'avais compris mais pour le developpement pas trop....

Envoyé par Scorp

Par exemple, essayes de montrer que le facteur d'amplifcation du schéma d'Euler explicite est : $\text{[math]}$

Que peux tu en déduire de la stabilité de ce schéma ?

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

Envoyé par Scorp

Idem, tu peux montrer que le facteur d'amplification pour le schéma Euler implicite est : $\text{[math]}$ . Que peux tu dire de la stabilité de ce schéma ?

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

invite9c7554e3 · 05/04/2010, 00h42

à l'heure où j'ecris j'ai pas eu le courage de bien me plonger dans la demonstration mathematique, je le ferai à tete reposée mais à present j'ai bien compris la demarche.

Merci beaucoup!!!

invite6f25a1fe · 05/04/2010, 05h30

Envoyé par 21did21

Pour la demonstration de l'expression de g je le ferai à tete reposée
le schema est donc toujours stable puisque g< 1

Dans le premier cas, g n'est pas toujours inférieure (en valeur absolue) à 1. Si tu prend le sin()=1, alors tu te retrouves avec $\text{[math]}$ qui peut être plus grand que 1

Tu retrouves ainsi la condition CFL qui détermine la stabilité du schéma Euler explicite : il faut que $\text{[math]}$

Le second exemple est lui par contre bien toujours stable.

Cette différence entre les deux schémas d'Euler (implicite et explicite) est vraiment importante car elle va conditionner l'emploie de tel ou tel schéma. Notamment, on voit que si $\text{[math]}$ est petit (normal vu qu'on veut avoir un minimum de précision), alors la condition trouvée devient assez contraignante puisqu'elle nous impose un pas de temps très petit (ce qui peut aboutir à des temps de calculs longs, car il faudra plus d'itérations)

invite9c7554e3 · 05/04/2010, 12h47

merci beaucoup scorp c'est tres gentil de ton aide!

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