Polynômes

[invitef14a3759]

Bonjour, j'ai un exercice sur les polynôme a résoudre et j'aimerai savoir savoir si ma réponse est juste.

Énoncé: Factoriser le polynôme X6 + 2X4 + 2X2 + 1 en produit de puissances de polynômes irréductibles de R[X], sachant que i et j sont racines de ce polynôme.

Ma réponse est dans la pièce jointe.Merci d'avance.
Cordialement
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[topmath]

Bonjour :

Apparemment c'est juste puisque le Reste de la division Euclidienne est égale à zéro , toute fois en peux aussi faire autrement pour trouver les zéro du polynôme on posant ce qui nous réduit la puissance de ce dernier à c-a-d résoluble en d'ou la racine réel évidente en la suite est facile pour en déduire les .

Cordialement

[invitef14a3759]

D'accord je n avais pas penser a cette solution !!
Merci de votre réponse !!
Cordialement .

[Médiat]

Bonsoir,

On peut aussi noter que dans la première équation, si i et j son solutions, il en est de même de -i et -j

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef14a3759]

Bonsoir,d'accord merci pour cette remarque, c est à dire que j'aurai pu calculer P´(-i) et P(-j).

[invitef14a3759]

Bonjour, -i et-j sont racines car ce sont les conjugués de i et j , c est ça ?
Cordialement .

[gg0]

Double raison pour -i : comme le polynôme est à coefficients réels, le conjugué de chaque racine est aussi racine ; le polynôme est une fonction paire de X, donc si z est racine, -z aussi (ce qui justifie le -j racine)
énorme erreur pour -j, ce n'est pas le conjugué de j.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Maintenant, vous avez en main 6 racines, pour un polynôme de degré 6, cela devrait suffire ...

[invitef14a3759]

Merci beaucoup pour cette explication et le conjugue de j est j^2 ou j barre .
Cordialement .

[CARAC8B10]

C'est une réponse un peu tardive mais ça résume ...
P(X) est à coefficient réel donc si i est racine son conjugué -i est aussi racine donc (X-i)(X+i) = X^2+1 divise P(X)
Par division euclidienne $P(X) = (X^2+1)(X^4+X^2+1)$
Idem : j est racine son conjugué jbar est aussi racine donc (X-j)(X+jbar) = X^2-(j+jbar) + j jbar divise X^4+X^2+1
j+jbar = 2 Re(j) = 2 . 1/2 = 1
j jbar = |-j6^2 = 1
(X-j)(X+jbar)=X^2-X+1 et par division euclidienne : X^4+X^2+1= (X^2-X+1)(X^2+X+1)
P(x)=(X^2+1) (X^2-X+1)(X^2+X+1)

Question :
J'arrive sur ce Forum. Comment "activer" une expression en LaTeX ?
Je n'ai pas eu le temps de le chercher dans le FAQ

[gg0]

Bonjour.

En mode "répondre", ou en "mode avancé", tu as des balises TeX. Tu peux aussi lire http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/456024-ecrire-equations-propres-forum.html

Cordialement.

[CARAC8B10]

J'ai attendu trop longtemps pour pouvoir corriger mes fautes de frappe donc je ré-écrit mon message en entier
Et entre-temps j'ai trouvé la balise [TEX] !

P(X) est à coefficients réels donc si i est racine son conjugué -i est aussi racine donc divise
Par division euclidienne
Idem : est racine et son conjugué est aussi racine donc divise


et par division euclidienne :

[invitef14a3759]

Merci pour la réponse.
J'ai très bien réussi mon oral sur le même style d'exercice.
Cordialement.