Inégalité de Bessel

[invitedb34050e]

Bonsoir,
Svp en ce qui concerne la démonstration de l'inégalité de Bessel ci-dessous , ne faut-il pas dire que la famille (e1, … , en) est une base?

Merci
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Non. Par contre les (e1, ..., en) sont une base d'un sous-espace vectoriel de E (puisqu'ils sont orthonormés). Si (e1, ..., en) est une base de E, alors l'inégalité de Bessel devient une égalité (comme dit dans l'énoncé).

Par ailleurs dans la démonstration, je crois qu'il est implicite que la famille (e1, ..., en) soit une famille de vecteurs orthonormés. Il est dit que F est engendré par "la" famille (e1, ..., en), cela ne peut donc être que la famille dont il est question dans l'énoncé.

[invitedb34050e]

Bonsoir,

Par contre les (e1, ..., en) sont une base d'un sous-espace vectoriel de E (puisqu'ils sont orthonormés).

Merci mais pourquoi?
Je pense que si on fait la projection sur Vect(e1,....,en), il n'ya pas de problème. Par contre si on projette sur (e1,....en), là on doit montrer qu'elle est une base , non?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

On peut démontrer que que toute famille de vecteurs orthonormés dans E constitue une base d'un sous-espace vectoriel de E.

Soit V l'espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs orthonormés. Par définition cette famille est génératrice de V, sous-espace vectoriel de E (les vecteurs de la famille sont pris dans E).

D'autre part, soit , avec le corps associé à E.
Regardons: et supposons par l'absurde qu'il existe au moins un tel que soit non nul.

Alors, en faisant le produit scalaire de la combinaison linéaire ci-dessus avec on obtient: , ce qui est contradictoire.
Comme k est quelconque (compris entre 1 et n), on en conclut que tous les sont nuls et c'est la seule valeur qu'ils peuvent prendre pour cette combinaison linéaire.

Cette famille est donc libre. Comme elle est aussi génératrice de V, c'est donc une base de V, qui est un sous-espace vectoriel de E. On a donc la thèse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb34050e]

Bonsoir,

On peut démontrer que que toute famille de vecteurs orthonormés dans E constitue une base d'un sous-espace vectoriel de E.

Soit V l'espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs orthonormés. Par définition cette famille est génératrice de V, sous-espace vectoriel de E (les vecteurs de la famille sont pris dans E).

D'autre part, soit , avec le corps associé à E.
Regardons: et supposons par l'absurde qu'il existe au moins un tel que soit non nul.

Alors, en faisant le produit scalaire de la combinaison linéaire ci-dessus avec on obtient: , ce qui est contradictoire.
Comme k est quelconque (compris entre 1 et n), on en conclut que tous les sont nuls et c'est la seule valeur qu'ils peuvent prendre pour cette combinaison linéaire.

Cette famille est donc libre. Comme elle est aussi génératrice de V, c'est donc une base de V, qui est un sous-espace vectoriel de E. On a donc la thèse.

Merci beaucoup. En général, toute famille orthonormée d'un espace euclidien qui ne contient pas le vecteur nul est libre, non?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Tout à fait, on suppose (implicitement, il est vrai) que la famille ne contient pas le vecteur nul.