Equation differentielle

[invitef53905f1]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à resoudre ce problem:
Considérons un problème de valeur initiale pour l'équation de transport avec une source non linéaire
u_t - u_x = u^2
x ∈ R, t> 0,
u (x, t= 0) = g (x).
Où g (x) est fonction continue non négative avec dérivée continue qui atteint son maximum en un seul point x = 0 et g (0) = 1.
a) résoudre le problème de la valeur initiale.
b) Montrer que la solution devient illimitée en temps fini et donc la solution pour le problème n' existe que sur
un intervalle de temps fini. Trouver l'intervalle maximal d'existence.
c) Trouver de coordonnées d'un point (x *, t *) à laquelle la solution de ce problème devient illimitée
en effet la semaine prochaine j'ai an examen en équation différentielle c'est pour cela j'ai besoin de la correction
j’ai essayer avec la premiere question et j’ai trouver
u(x,t)= g(x+t)/(1-tg(x+t))
ma reponse est t-elle vrai ?
si elle est vrai ,pouvez vous m’aider à terminer la suite?merci d'avance
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[invite5161e205]

Bonjour,
Qu'entendez-vous par u_t - u_x = u^2 ?

[invitef53905f1]

bonjour
je veut dire
[u][/t] − [u][/x] = [u][/2]

[invite5161e205]

u(x,t)= g(x+t)/(1-tg(x+t)) est en effet l'unique solution pour a)
je regarde la suite

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5161e205]

b)
0 =< g(t) =< 1

donc :
0 =< g(x+t) =< 1

Si 0=<t<1 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1/(1-t)
Si t=<0 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1

u(x,t) diverge en 1-tg(x+t)=0 <-> g(x+t)=1/t

Si x=-1 et t=1 : g(x+t)= g(0)=1=1/t
Quel que soit g, g diverge en t=1 (et x=-1)
x € R , t € ]-oo,1[ est aussi l'interval maximal de définition

[invite5161e205]

c) point (x,t)=(-1,1)

[invitef53905f1]

salut Polf
merci pour ta reponse
pouvez vous m'expliquer pourqoui x € R , t € ]-oo,1[ est aussi l'interval maximal de définition
merci

[invite5161e205]

C'est parce que :

Si 0=<t<1 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1/(1-t)
Si t=<0 : 0 =< g(x+t)/(1-tg(x+t)) =< 1

inégalités qui sont valables pour tout x €R

[invitef53905f1]

polf
dans l'ennoncé de l'exercice on nous a dit que t>0
donc pourquoi vous avez etudier le cas t inferrieur à 0
et pourquoi on n'a pas etudier le cas si t est superieure à 1?

[invite5161e205]

On peut en effet ignorer le cas t<0, je n'avais pas pris cela en compte.
Pour t>1, l'énoncé ne s'y intéresse pas.

Si on voulait voir ce que serait u(x,t) pour t>1, la condition u(0,0)=1 ne serait plus vérifiée, et la partie à droite de t=1 aurait pour forme :
u(x,t)=g(a.(x+t))/(1-t.g(a.(x+t))) avec a constante à déterminer.