Majoration d'une série

[benjgru]

Bonjour,

j'essaie de montrer que la série de terme général u_n = n ! / nⁿ est telle que somme des u_n < e² / (e-1)²

J'essaie de me ramener à une série géométrique, à une série entière, une intégral...mais je sui vraiment bloqué.
Si vous avez une piste...merci !
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[Universus]

Bonjour,

Notons que , de sorte que (avec les conventions et ). Ainsi, nous souhaitons majorer

.

Notons que la fonction est décroissante sur l'intervalle (et converge à l'infini vers ), de sorte que pour , . Ainsi,

.

Il y a peut-être une façon plus « directe » d'arriver à ce résultat, considérant justement vers quoi converge la fonction f et en notant que

; il suffirait de montrer que le terme général ici est supérieur à , mais je ne sais pas si c'est le cas (l'approche naïve, consistant à penser que pour tout , ne fonctionne pas pour k=2 et n suffisamment grand).

[benjgru]

Merci !
La dernière égalité avec une série entière j'y avais pensé en effet...
Au fait juste avant j'ai démontré que intégrale de 0 à infini de f(x) = xe^-x/ (1-xe^-x))² = somme des n! / nⁿ...
(avec la série de fonctions de terme général u_n(x)= nxⁿe^-nx qui converge normalement sur R₊)
Il y a peut être moyen de s'en servir mais je n'ai pas réussi à majorer l'intégrale...ou alors de façon trop grossière comme avec g(x) = xe^-x.

D'avance merci !

[Universus]

C'est très bien vu ! En fait, ça fait tout le travail (ou presque).

Il faut remarquer que atteint (sur ) son maximum en , la fonction y valant . Ce faisant, nous déduisons que pour tout x positif, d'où

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjgru]

Merci c'était tout bête en fait...!