Probabilité de panne

[Isis-mirka]

Bonjour à tous,
je suis en train de faire un exo de proba, et je bloque sur une question.

on a 3 machines A,B et C dont les proba de panne sont 0.05,0.03 et 0.01
le système tombe en panne dès que que l'une d'elles au moins est en panne
1) déterminer la proba que le système tombe en panne: je crois que j'y suis arrivé : j'ai trouvé 0.088
2) quand le système est en panne , quelle est la proba que la panne soit due uniquement à A ?
je n'arrive pas à la résoudre: j'étais parti sur le calcul de P de X sachant Y avec x=proba de panne de A et Y la proba trouvée en , mais je m'enlise dans des calculs interminables

quelqu'un aurait-il une idée sur la manière de résoudre cet exo ?

merci d'avance
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[Dynamix]

Salut

x=proba de panne de A

A est en panne , donc la probabilité de panne de A est 1

[Isis-mirka]

je me suis peut etre mal exprimé, mais A n'est pas forcément en panne , si ? car la consigne est :"quand le système est en panne , quelle est la proba que la panne soit due uniquement à A ? "
comment dois-je procéder selon vous ?

merci

[gg0]

Bonjour.

Il s'agit d'une question élémentaire de probas conditionnelles : Quelle est la proba, sachant que le système est en panne, que A soit en panne. Raisonne avec des événements. Je n'ai rien compris au message de Dynamix
Comment as-tu trouvé le 0,088 ?

Cordialement.

NB : Il me semble qu'il manque une hypothèse dans l'énoncé. As-tu tout recopié ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

j'ai tout recopié , mais j'ai oublié de préciser que les évenements A, B et C sont indépendants (mon prof l'a précisé à l'oral).

j'ai trouvé le 0.088 de la façon suivante (je ne suis pas sur de moi):
Soit Xi="la i-ème machine est en panne"
j'ai cherché P(X1 union X2 union X3)=p(X1)+p(X2)+p(X3)-p(X1interX2)-p(X1interX3)-p(X2interX3)+p(X1interX2interX 3)
=0.05+0.03+0.01-0.05*0.03-0.05*0.01-0.01*0.03+0.05*0.03*0.01= proba que le système soit en panne

ici on cherche donc P(X1/(X1 union X2 union X3))= P(X1inter(X1 union X2 union X3)) divisé par P(X1) , c'est ça ?

[Dynamix]

Si la panne est uniquement due à A , ça veux dire que A est en panne et que B et/ou C ne le sont pas .
Pour le premier , penser à la probabilité de non panne .

[gg0]

Le calcul pour la question 1 est effectivement plus simple en passant à l'événement contraire. Mais ce que tu as fait est juste.

Si on note X l'événement "le système est en panne", on cherche effectivement P(X1/X) et "X1 et X" est X1, ce qui simplifie le calcul.

Cordialement.

[Isis-mirka]

pour la 1: vous vouliez dire :
proba de non panne= P(X1' inter X2' inter X3'), avec les Xi'=Xi"barre" (événement contraire)
qui serait égale à P(X1') *P(X2')*P (X3')= 0.95*0.97*0.99=0.912 si les événements sont indépendants ?

pour la deuxième: "2) quand le système est en panne , quelle est la proba que la panne soit due uniquement à A ? ":
on note donc Y l'événement "le système est en panne"(Y pour pas que je confonde), on cherche effectivement P(X1/Y) et "X1 et Y" est X1.
mon début de démarche avait l'air correcte.
donc P(X1/Y)=P(X1interY)/P(Y)
on a donc P(Y) (=0.9 environ: question 1)
et vous dites que P(X1interY)=P(X1)=0.05
la réponse serait alors 0.05/0.9 =0.056 environ ?

je n'aurais jamais pensé à simplifier de cette façon (en supposant que j'ai bien compris votre démarche)

[gg0]

1) Ok, reste à finir. Evite les arrondis trop imprécis.
2) démarche correcte, mais le résultat va être faussé car P(Y) n'est pas 0,9. Tu as la valeur exacte, utilise-la avant éventuellement d'arrondir à la fin (calculer avec des valeurs fausses n'est pas une bonne idée !).

[Isis-mirka]

vous avez raison, à force de trop arrondir, je vais avoir des valeurs très lointaines de la réalité.
merci à vous deux pour l'aide apportée.
Malheuresement, cet exo n'est pas terminé pour moi.
En effet, la seconde partie me pose problème elle-aussi (je trouve des proba supérieures à 1).
Je vous expose la situation:
l'unité de production qui utilise ces trois machines sont maintenant considérées avec une proba de tomber en panne de 0.4 pour les trois.

Soit Ai="la i-ème machine focntionne"
Bi= "exactement i machine(s) fonctionne(nt)"
C="au moins 1 machine fonctionne".

en supposant que les pannes des machines sont indépendantes,
calculer P(B1), P(B2), P(B3) et P(C)

je note Bi , l'evenement contraire à Bi , et I le mot "inter" et U le mot "union"
j'ai écris P(B1)=P(( A1 I A2 I A3) U ( A2 I A1 I A3) U ( A3 I A2 I A1) )
mais comment simplifier (si elle est juste) cette expression pour la calculer
j'ai essayé avec P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A I B) avec 3 elements, mais j'obtiens des expressions que me bloquent encore

auriez-vous une idée ?

Je vous remercie d'avoir pris le temps de me répondre, c'est très gentil de votre part.

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends pas ce que tu racontes. Peux-tu donner l'énoncé "in extenso". A un mot près, un énoncé mathématique change.

[Isis-mirka]

oui pas de problèmes
je précise qu'il est écrit que "la partie qui suit est indépendante de la précédente".

l'unité de production utilise les trois machines dont chacune peut tomber en panne au cours d'une période donnée. Pour chacune des machines, la proba de panne est de 0.04 (et non pas 0.4) pour les trois.

On considère les évenements:
Ai="la i-ème machine focntionne"
Bi= "exactement i machine(s) fonctionne(nt)"
C="au moins 1 machine fonctionne".

en supposant que les pannes des machines sont indépendantes,
calculer P(B1), P(B2), P(B3) et P(C)


je note Bi , l'evenement contraire à Bi , et I le mot "inter" et U le mot "union"
j'ai écris P(B1)=P(( A1 I A2 I A3) U ( A2 I A1 I A3) U ( A3 I A2 I A1) )
mais comment simplifier (si elle est juste) cette expression pour la calculer
j'ai essayé avec P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A I B) avec 3 elements, mais j'obtiens des expressions que me bloquent encore

[gg0]

B1, c'est "exactement une machine fonctionne. Donc il y en a deux en panne".

Il y a un problème dans ton énoncé,le passage "Pour chacune des machines, la proba de panne est de 0.04 (et non pas 0.4) pour les trois." ne veut rien dire : Soit c'est pour chacune, soit c'est pour les 3.
En supposant que les pannes sont indépendantes, et en écrivant correctement

(3 événements indépendants), on obtient le résultat.
Tu peux aussi faire un arbre avec un niveau par machine.

[Isis-mirka]

oui désolé, c'est quand j'ai repris une phrase du message précédent, le morceau "pour les trois " n'a pas lieu d'être, c'est 0.04 pour chacune
je ne saisi pas très bien: pourquoi mettez vous des "+" et pas des "unions", car c'est soit la machine 1 qui fonctionne et les autres en panne, ou bien la machine 1 qui fonctionne et les autres en panne....non ?

de plus, comment trouver la valeur d'une telle expression ?

merci

[gg0]

Effectivement, les + sont des oublis dus à des modifications. En fait, j'avais écrit au début la suite du calcul. J'ai oublié de rectifier les + en modifiant. Suite évidente avec les règles de base des probabilités. Tu sembles les avoir oubliées ... Probabilité d'une réunion d'événements ? probabilité d'une intersection d'événements indépendants ...

C'est bizarre, car tu as utilisé ces formules aujourd'hui !

[Isis-mirka]

vous voulez que j'utilise donc la démarche que j'avais exprimée en message 12 avec : P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A I B) avec 3 elements ?
je vais donc réessayer.
si je vous suis, on a ( A1 I A2 I A3) , ( A2 I A1 I A3) et ( A3 I A2 I A1) sont 3 évenements indépendants
effectivement, cela va m'aider
donc on aurait

P(B1)=P((A1 I A2 I A3) U (A2 I A1 I A3) U (A3 I A2 I A1) )

= P((A1 I A2 I A3)+ P(A2 I A1 I A3) +P(A3 I A2 I A1)+P((A1 I A2 I A3) I (A2 I A1 I A3) I (A3 I A2 I A1))- P((A1 I A2 I A3) I (A2 I A1 I A3))-P((A1 I A2 I A3 I (A3 I A2 I A1)) - P((A2 I A1 I A3) I (A3 I A2 I A1))

= 3*0.96 +0.96^3 - 0.96*0.96*3= 0.999

que dites-vous e cette proba ? je la trouve un peu élevée moi ..

[gg0]

Tu ne t'es pas aperçu que ce sont des événements incompatibles ? Et que la probabilité de chacun est inférieure à 0,04 ? Donc qu'on doit trouver moins de 0,12.

Je n'ai pas compris d'où tu sors ces 0,96. Si tu te contentes d'écrire n'importe quel calcul, inutile que je t'aide : Tu verras bien la correction de ton prof que tu pourras copier béatement.

[Isis-mirka]

je n'écris pas n'importe quel calcul , ou en tout cas pas volontairement: croyez que j'aurais inventé tout le calcul ci-dessus , j'ai appliqué l'union avec 3 elements.

vous me dites que A1,A2 et A3 sont incompatibles ? je ne comprend pas ce que voulez dire: a chaque fois on aurait P(A1interA2)=0 , P(A2interA3)=0 , P(A1interA3)=0 si tel est le cas , non ?

je ne vois pas ce que vous voulez simplifier dans mon gros calcul , pourriez être plus explicite ?

merci

[gg0]

Mais non !

Tu veux calculer la probabilité de la réunion de trois événements. Ceux dont tu parles au début du message #16 en disant qu'ils sont indépendants (encore une invention de ta part; tu interprètes mes écrits en inventant des significations qui n'y sont pas, sans réfléchir à l'énoncé; tu passe ton temps à essayer de deviner les réponses !), ce qui est faux; ces événements (( A1 I A2 I A3) , ( A2 I A1 I A3) et ( A3 I A2 I A1)) sont de façon évidente incompatibles, il n'y a qu'à les regarder.
Si je parlais de A1,A2 et A3 je n'aurais pas dit que leur probabilité est inférieure à 0,4.

Bon, tu vas devoir te débrouiller seul pour comprendre et appliquer les règles du cours : je ne serai plus sur ce forum, j'ai mieux à faire. Bonne chance !

[Isis-mirka]

ah , ok
donc on a juste P(B)=P(A1 I A2 I A3)+ P(A2 I A1 I A3) +P(A3 I A2 I A1)=0.96*0.04^2*3 car P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.96 = 1-P(A1)= 1-P(A2) =1-P(A3)=1-0.04