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Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.



  1. #1
    contrexemple

    Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.


    ------

    Salut,

    Quelle est la différence entre chacune de ces notions (utilisés abondamment en mathématiques) ?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonjour,

    Proposition = Formule bien formée
    Théorème = Proposition démontrée dans le cadre d'une théorie

    Le reste n'est pas une nomenclature logique, mais simplement de présentation du discours :

    Lemme = Théorème de "moindre importance" (*) permettant de démontrer le résultat principal.

    Corollaire = Théorème qui est une conséquence directe d'un autre théorème.

    Voir aussi : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2553410

    (*) Néanmoins certains lemmes sont devenus célèbres : Lemme de Zorn, Lemme de Yonéda etc...
    Dernière modification par Médiat ; 26/01/2015 à 11h44.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (*) Néanmoins certains lemmes sont devenus célèbres : Lemme de Zorn, Lemme de Yonéda etc...
    oui, et on peut parler aussi du lemme "chinois".
    une des bases des congruences.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    minushabens

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Proposition est aussi employé comme synonyme de théorème.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    PlaneteF

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    oui, et on peut parler aussi du lemme "chinois".
    Il y en a principalement de 4 sortes : Les lemmes au poulet, au porc, aux crevettes ou encore au crabe !

    Dernière modification par PlaneteF ; 26/01/2015 à 12h09.

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Nom : mort-de-rire-saoul-28492.gif
Affichages : 251
Taille : 49,7 Ko...........

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  10. #7
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Je plussoie l'éclat de rire et ajoute :

    En tant que logicien je connais :
    1.Les langages
    2.Les termes d'un langage
    3.Les formules atomiques d'un langage
    4.Les formules d'un langage
    5.Les axiomes d'une théorie
    6.Les théorèmes d'une théorie

    A noter que la littérature anglaise distingue "formule" et "formule bien formée" (wff), cette dernière notion n'étant d'aucun intérêt mathématique (mais peut en avoir à titre pédagogique), j'ai vu, les mots "assemblage" et "formule" pour traduire ces notions en français.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    Ashrod

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonsoir,

    Si je peux me permettre, je pense que les règles permettant de déterminer automatiquement si une formule est bien formée dans un cadre précis relève d'une relative importance en logique propositionnelle.

    Mais je peux me tromper.

  12. #9
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par Ashrod Voir le message
    Si je peux me permettre, je pense que les règles permettant de déterminer automatiquement si une formule est bien formée dans un cadre précis relève d'une relative importance en logique propositionnelle.
    Evidemment, ce que je voulais dire c'est que dans les textes en français, on utilise très majoritairement le mot "formule" (sans autre précision) dans le sens "formule bien formée", alors que cette précision (wff) est majoritairement utilisées dans les texte anglais.

    Il faut bien avouer que les formules mal formées ne servent pas à grand-chose (aucun intérêt mathématique)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    contrexemple

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonsoir,

    Donc une conjecture est une proposition ?

  14. #11
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Une conjecture est une proposition qui n'est pas démontrée et dont la négation n'est pas démontrée non plus (donc cela n'a de sens que dans le cadre d'une théorie précise).

    Ne pas confondre avec une formule indécidable qui est une proposition qui n'est pas démontrable et dont la négation n'est pas démontrable non plus (donc cela n'a de sens que dans le cadre d'une théorie précise).

    Parler de conjecture, c'est admettre son ignorance, parler d'indécidable c'est affirmer sa connaissance.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    PlaneteF

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (...) parler d'indécidable c'est affirmer sa connaissance.


    Bonjour Médiat,

    Magnifique ce morceau de phrase, ... c'est simple, court, efficace, ... et cela "résume tout" ... C'est selon moi exactement ce que n'ont pas compris toutes ces légions de personnes qui "philosophent" autour des théorèmes d'incomplétude de Gödel et qui nous gratifient à longueur de temps d'horreurs sur horreurs sur le sujet

    (cela devrait même devenir une citation officielle, et ouais là j'y vais carrément à donf )

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/01/2015 à 09h55.

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  17. #13
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonjour PlaneteF,

    Merci de votre enthousiasme flatteur .

    J'ai été particulièrement choqué, il y a quelques mois, d'entendre Cédric Villani dire (Sur France Inter, émission, "La tête au carré") que démontrer qu'une proposition est indécidable (dans une théorie donnée) était "une mauvaise nouvelle" (il est vrai que ce n'est qu'un mathématicien (pour que les choses soient claires : c'est une plaisanterie)), alors que le logicien que je suis, dirait plutôt "excellente nouvelle", puisque cela nous offre trois théories au lieu d'une.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    bjr:
    trois "théories" ?
    ce n'est pas pour pinailler ! mais ce fil a pour but de redonner les sens aux mots employés.
    et que je lis avec gourmandise.
    Cdt
    Dernière modification par ansset ; 29/01/2015 à 11h02.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    PlaneteF

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    J'ai été particulièrement choqué, il y a quelques mois, d'entendre Cédric Villani dire (Sur France Inter, émission, "La tête au carré") que démontrer qu'une proposition est indécidable (dans une théorie donnée) était "une mauvaise nouvelle" (il est vrai que ce n'est qu'un mathématicien (pour que les choses soient claires : c'est une plaisanterie)), alors que le logicien que je suis, dirait plutôt "excellente nouvelle", puisque cela nous offre trois théories au lieu d'une.
    Petite illustration de cela : La commutativité est indécidable dans la théorie des groupes (*) ... Comme dirait l'autre "même pas peur !"

    (*) Je rajoute même, évidemment, et surtout heureusement, sinon la logique que l'on aurait mis en place serait complètement bancale, quel sens cela aurait-il de pouvoir statuer sur la commutativité alors qu'il existe des groupes commutatifs et d'autres qu'ils ne le sont pas ?! On en revient une fois de plus à l'importance de cet édifice répondant au théorème de complétude de Gödel.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 29/01/2015 à 11h08.

  20. #16
    contrexemple

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Remarque ma question doit se penser dans les mathématiques et non dans la logique....
    Car il me semble que dans l'usage commun (en mathématiques), une proposition est toujours démontrer.

  21. #17
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonjour,
    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    trois "théories" ?
    Si est une formule indécidable dans la théorie (forcément consistante), alors on peut étudier 3 théories :





    Les théorèmes de sont alors des théorèmes de et de
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    merci pour ta réponse rapide.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  24. #19
    azizovsky

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonsoir, postulat du parallélisme :
    il existe une seule..... : géométrie d Euclide.
    il n'existe aucune ......: .................de riemann.
    il existe plus d'une droite ....: géométrie de Lobatchevski.
    il existe 3 théorie .
    selon Gödel, une proposition indécidable peut être rajouter à la thoéorie comme axiome .(ce que j'ai compris) (le dernier mot à Médiat et merci d'avance)
    Dernière modification par azizovsky ; 29/01/2015 à 18h46.

  25. #20
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    Bonsoir, postulat du parallélisme :
    il existe une seule..... : géométrie d Euclide.
    il n'existe aucune ......: .................de riemann.
    il existe plus d'une droite ....: géométrie de Lobatchevski.
    il existe 3 théorie .
    C'est plus compliqué que cela, vous avez déjà 3 théories de la façon suivante :
    Sans axiome sur les parallèles
    Avec axiome d'Euclide
    Avec négation de l'axiome d'Euclide (ce qui n'est ni l'axiome de Riemann, ni celui de Lobatechevski)



    Citation Envoyé par azizovsky Voir le message
    selon Gödel, une proposition indécidable peut être rajouter à la thoéorie comme axiome
    C'est exact, mais ce n'est pas dû à Gödel, c'est une des définitions de "indécidable".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    PlaneteF

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonjour,

    Je suis convaincu que le choix du vocabulaire à une incidence non négligeable sur la mauvaise compréhension des notions de décidabilité et de complétude évoquées précédemment :

    En effet lorsque l'on ne maîtrise pas un sujet, un réflexe naturel et inconscient est de se raccrocher au vocabulaire que l'on connaît. Le problème est que comme souvent il y a un décalage entre le vocabulaire du langage (méta)mathématique et celui du langage naturel. Ici les termes "indécidable" et "incomplet" ont dans le langage naturel une connotation fortement négative : "Incomplet" veut dire qui n'est pas complet donc qu'il y a quelque chose de manquant, ... "Indécidable" quant à lui laisse penser à une situation floue et non maîtrisée. Hors comme cela a été dit précédemment il n'en est rien, c'est même le contraire !

    Du coup je propose un nouveau vocabulaire qui selon moi capture mieux ces notions avec de surcroît une connotation résolument positive :

    Plutôt que de dire qu'une formule est indécidable dans la théorie , on pourrait dire que est -émancipée.

    Pour ce qui est des notations, dans ce cas plutôt que d'écrire et (avec connotation potentiellement négative du symbole ), on pourrait écrire qui se lirait émancipe .

    De la même manière, toujours dans ce cas, au lieu de dire que est une théorie incomplète, on pourrait dire que est une théorie bi-enrichissable.


    Je suis profondément convaincu que l'adoption d'une telle terminologie ou semblable réduirait de manière significative les mauvaises interprétations de ces notions, que l'on voit à longueur de temps


    N.B. : Si vous avez d'autres suggestions de terminologie, n'hésitez pas à le faire partager !


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 30/01/2015 à 14h08.

  27. #22
    Khwartz

    Thumbs up Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Bonjour, je vais probablement être accusé de "déterrer" cette discussion, ou je sais plus comment les Modérateurs appellent ça dans leur jargon, mais il me semble qu'il n'y a rien de mal à REMERCIER les Intervenants d'une discussions même ancienne si l'on trouve que le contenu de la discussion est toujours Pertinent (ou alors il faut que l'on m'explique le problème ! )

    Bref, en espérant cette fois-ci que mes Remerciements ne seront pas jetés à la poubelles ^_^, je tiens tiens donc, vous l'aurez compris, à :

    Remercier les différents Intervenants de cette discussion que je trouve Très Profitable ; je les Remercie de leur Temps et de leur Compétence doublée d'une Parfaite Clarté

    Voilà, comme PlaneteF, je n'hésite pas "à dire ce que je pense", même pour des Compliments !

    Cordialement,
    Didier

    PS : @PlaneteF : je vais essayer d'adopter ta proposition de nomenclature, comme toi, j'observe de le choix de la terminologie a un impact non négligeable sur la facilité d'apprentissage d'une science
    Dernière modification par Khwartz ; 19/08/2018 à 10h08.
    "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme." Rabelais.

  28. #23
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par Khwartz Voir le message
    (ou alors il faut que l'on m'explique le problème ! )
    Aucun problème, vous faites juste un (mauvais) procès d'intention avec cette première phrase sans objet dont vous auriez pu vous passer.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  29. #24
    eudea-panjclinne

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par médiat
    Avec négation de l'axiome d'Euclide (ce qui n'est ni l'axiome de Riemann, ni celui de Lobatechevski)
    C'est une géométrie où une droite peut donc avoir plusieurs parallèles ou aucune mais jamais une seule. Quelle est cette géométrie, si elle a un nom ?
    Une géométrie d'une surface à courbure de Gauss non constante ?
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 19/08/2018 à 16h04.

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  31. #25
    Médiat

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    C'est une géométrie où une droite peut donc avoir plusieurs parallèles ou aucune mais jamais une seule.
    C'est plutôt une géométrie ou au moins une droite et un point n'ont pas exactement 1 parallèle à la droite passant par le point

    Quelle est cette géométrie, si elle a un nom ?
    Pas que je sache, je ne suis pas sûr qu'elle ait un intérêt.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    eudea-panjclinne

    Re : Théorèmes, propositions, corollaires et lemmes en mathématiques.

    Citation Envoyé par Médiat
    C'est plutôt une géométrie ou au moins une droite et un point n'ont pas exactement 1 parallèle à la droite passant par le point
    Je pense que cette géométrie n'existe pas ou plutôt qu'elle se ramène à une des 2 classiques: soit la géométrie de l'angle aigu (Géométrie de Lobatchewski), soit la géométrie de l'angle obtus (Géométrie de Riemann de la sphère).
    En effet, Saccheri à montré qu'en géométrie absolue (sans 5e postulat) si un triangle avait la propriété de l'angle aigu, ils l'avaient tous, de même pour l'angle obtus. Ce qu'on peut traduire par le fait que le plan géométrique est homogène. On peut donc penser que si une droite admet 0 parallèle, il en sera de même pour toutes les autres, de même si il existe une droite qui en admet plus d'une, il en sera de même pour toutes les autres.
    Je vous accorde cependant que ceci reste qualitatif et demanderait à être précisément démontré.

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