Déduire une égalité d'une factorisation

[invitee27a7ed8]

Salut !

Je dois faire un exercice qui me demande, après avoir factorisé , de déduire que :
pour n impair.

J'ai trouvé que :

et j'ai essayé d'en déduire l'égalité.

J'ai remarqué qu'on trouve le bon membre de gauche en prenant P(2i) et en divisant les deux côtés par 2ni, mais après j'ai du mal à avancer...

Comment avancer ? Je suis sur d'être proche en plus...

Merci d'avance,
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Il faut aussi considérer P(-2i), pas seulement P(2i).

[invitee27a7ed8]

Euh, évidemment, oui !
Mais je ne vois toujours pas comment avancer...

[invite93e0873f]

Hum... en effet, quelque chose cloche.

Je pensais à ceci : puisque n est impair, P(-x) = P(x). Donc, j'aurais considérer afin d'obtenir le membre de droite : . Du coup, à gauche nous obtenons , donc

.

J'imagine qu'il y a une erreur dans votre énoncé et qu'il devrait se lire comme ci-dessus. Maintenant, ça se voit directement que votre énoncé est erroné : pour n=2, le membre de gauche vaut 2, tandis que celui de droite vaut 4.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee27a7ed8]

En fait, dans l'énoncé, le produit égal à va jusqu'à mais ne voyant pas d'où le 2n venait, j'ai pensé à une faute de frappe. Mais après peut-être que le 2n est important, même si, dans ce cas, je vois encore moins comment avancer ! Peut-être faut-il du coup étudier ?

[invite93e0873f]

Ça ne fonctionne pas plus : pour n=2, qui ne vaut pas ...

Je ne sais donc pas quel doit être l'énoncé, mais étudier peut s'avérer opportun, puisque .

[invitee27a7ed8]

Cette propriété n'est valable que pour n impair, je ne suis plus sûr si je l'avais précisé ou non dans mon premier post...

Par contre, comment tu trouves que ?

[invite93e0873f]

Cette propriété n'est valable que pour n impair, je ne suis plus sûr si je l'avais précisé ou non dans mon premier post...

Non, j'avais vu cette condition, mais bête comme je suis, je l'avais oubliée...

Malgré tout, pour n=3, nous avons , tandis que . Quelque chose cloche dans votre égalité.

Par contre, comment tu trouves que ?

Il faut noter que (ce que j'avais oublié d'écrire, donc il faut multiplier le membre de droite par X) et que , de sorte que . Bref,



Ainsi, , d'où (avec X=2i)



( Pour n=3, le membre de gauche vaut , cette dernière expression étant le membre de droite. )

[invite93e0873f]

Franchement, je suis vraiment bête...

Il faut considérer qui vaut aussi . Maintenant, puisque n est impair (pour une fois dans mes messages, j'utilise ceci d'une bonne façon !), la quantité est définie.

Nous avons, comme dans mon précédent message, ainsi que la -périodicité de la fonction cotangente. Ainsi, pour ,

.

Bref, est impaire par rapport à l'argument ... donc



Donc pour n impair.

Donc le produit se rend bien jusqu'à , mais pas parce que le dénominateur est 2n, mais parce que l'indice k se rend jusqu'à (n-1)/2 ...