Monte Carlo et Loi Uniforme

[invitea2257016]

Bonjour à tous,

Voilà, je viens de découvrir la méthode de Monte Carlo en probabilités et statistiques. Effectivement c'est une méthode très intéréssante pour approximer des lois de probabilités, notamment lorsqu'on utilise la loi uniforme pour générer les "paritcules".
Par contre je n'arrive pas à trouver une justification mathématique qui prouve que le rapport du nombre de particules vérifiant la propriété que l'on cherche a quantifier de manière probabiliste et du nombre de particules total généré avec la loi uniforme, approxime bien la distribution cherchée. Je "sens" que c'est logique mais je n'arrive pas à déterminer le concept mathématiques qui justifie cela. Je dois bien avouer que ça me fait un peu penser à la Méthode de la transformée inverse utilisé pour générer un échantillon suivant une certaine loi en informatique.

Quelqu'un aurait une explication je vous prie?

Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

Si tu parles d'estimer une proportion, la justification de la méthode est la loi des grands nombres. Si tu parles d'une distribution c'est plutôt la loi de Glivenko-Cantelli.

[gg0]

Bonjour.

Il va être difficile de te répondre précisément, car il y a un mélange, dans ton message, entre des méthodes différentes : estimer une valeur (rapport de deux nombres) et estimer une distribution.
A priori, dans chaque usage d'une méthode Monte-Carlo, il y a une justification particulière de la méthode, le plus souvent basée sur les propriétés asymptotiques des lois utilisées.

Par exemple, pour le calcul de l'aire d'un quart de cercle par tirage d'un échantillon aléatoire uniforme dans le carré de côté 1 (*), il est facile d'examiner la loi suivie par la proportion de valeurs dans l'échantillon qui sont dans le quart de cercle.

Cordialement.

(*) Le quart de cercle étant centré dans un coin du carré et de rayon 1.

[invitea2257016]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Pour les 2 possibilités, je veux biens une explication mathématique je vous prie.

Mais ce que je comprends pas, c'est pourquoi mathématiquement en utilisant la loi uniforme, on retombe sur des approximations. En effet chaque élément a autant de chance d'être tirer. Pour le carré et l'approximation de Pi, ça vient tout seul, mais je cherche une formalisation mathématique.
Je comprends cela encore moins quand il s'agit d'estimer une loi. Idem, les éléments ont été tirés avec la même probabilité (uniforme), alors comment peut-on retrouver la loi à estimer?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La formalisation mathématique, tu l'as avec la loi des grands nombres. Qui traduit mathématiquement qu'en répétant indéfiniment une épreuve de probabilité donnée, la fréquence de réussite tend vers la probabilité de réussite.

Sinon, on trouve des éléments sur le sujet dans les cours de probabilités de niveau bac+3 ou au dessus.

Cordialement.

[invitea2257016]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Bien cordialement.