Endomorphisme d'une rotation ?

[benjgru]

Bonjour,

un exercice propose d'identifier les endomorphismes de E= R³ tels que u³= - u
Valeurs propres : on trouve i et -i . (u(x) = k x...)

Peut-on en déduire qu'il s'agit de rotations d'angle Pi/2 et -Pi/2 puisque i = e^iPi/2 et -i = e^-iPi/2 ?

Mais quel est l'axe de la rotation dans R³ ?

Peut-on diagonaliser l'endomorphisme ? : je sèche...

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

Des éléments de réflexion sur ce fil.

Partir de l'idée que u est une rotation ne me semble pas la meilleure façon de traiter l'exercice. D'ailleurs en tant qu'endomorphisme réel, u n'a pas d'autre valeur propre possible que 0.

Mais si tu tiens à l'idée de rotation, rotation vectorielle, donc, les vecteurs de l'axe de rotation sont conservés. Donc si u est une rotation, u³=u. Tires-en les conséquences.

Cordialement.

[invitee0fcad7a]

je viens de voir le film gardiens de la galaxie et un personnage dit en permanence "je s'appelle gru"

bon, je n'ai pas les réponses mais je me suis amusé à voir ce que je pouvais dire

• j'ai moi aussi été stupéfait la première fois que j'ai vu qu'une matrice de rotation pouvait avoir une valeur propre complexe (on voit parfois ça en physique, quand on parle de la polarisation de la lumière): un example à avoir en tête
  
  
  Je pense que si on s'amuse à diagonaliser cette matrice de rotation dans R², on a une matrice avec dans la diagonale des ou un truc du genre.
  
• maintenant voyons voir ce qui se passe si on suppose que u est une rotation autour d'un axe (en particulier u inversible):
  - dans une base bien choisie c'est une rotation à 2 dimensions d'angle . (modulo 2 pi)
  - dans l'axe supplémentaire à ce plan on a si u est non-nul.
  
  Finalement u pourrait être une rotation de mais seulement dans un plan et une "inversion" dans le supplémentaire. L'axe n'est pas déterminé par cette relation u3=u.
  
  (pour se convaincre on peut justement prendre une rotation d'angle autour d'un axe arbitraire fixé et voir qu'on a la relation et que si on partait juste d'une relation de ce genre, on n'arriverait pas à déterminé l'axe de la rotation.)
  
• supposons que , alors

[invite51d17075]

pardon, mais d'ou viennent tous ces rappels ( blocs rouges polluants ) sur de nombreux posts aujourd'hui ?
ils deviennent illisibles.
un bug ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0fcad7a]

je confirme que je vois rouge

[invite51d17075]

je suppose que l'équipe FS a vu le problème.
Cdt

[Médiat]

je suppose que l'équipe FS a vu le problème.
Cdt

Oui, c'est en cours de traitement