endomorphisme et rotation

[Nicolas666666]

Bonjour à tous, voilà mon énoncé :
Soit endomorphisme de dont la matrice dans une base de est :

Montrer que est une rotation dont on déterminera l'axe et l'angle :
J'ai pu trouver l'axe : ce sont les vecteurs tels que .
Par contre comment montrer que c'est une rotation? et pour son angle?
Cordialement!
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[invite4ef352d8]

Salut !


A est une rotation si et seulement si A est orthogonal et det A=1, tu as juste à vérifier cela...


pour l'angle, il faut savoir que dans ce cas les valeurs propres de A sont 1,exp(ix) et exp(-ix) ou x est l'angle.

avec la trace de A tu as donc le cos de l'angle, pour ca valeur précise il faut calcule le dernier terme du polynome charactéristique (tu connait déja la trace et le déterminant...)

[invitec053041c]

Bonsoir.

Je pense que tu as vérifié au préalable que ta matrice était orthogonale.
Ensuite regarde si l'isométrie est positive ou pas (selon le déterminant, ou un petit produit vectoriel).
Les seules isométries positives dans IR^3 sont les rotations (et l'id), et les isométries négatives sont les réflexions et composée réflexion/rotation. Donc si tu trouves une isométrie positive, c'est gagné pour la rotation (si c'est pas l'id, ça se voit en général ).

EDIT: grillé, l'est vraiment temps que j'aille miam .

[Nicolas666666]

A est une rotation si et seulement si A est orthogonal et det A=1

Erf je n'ai pas lu ça dans mon cours..

pour l'angle, il faut savoir que dans ce cas les valeurs propres de A sont 1,exp(ix) et exp(-ix) ou x est l'angle

ça non plus, donc je ne peux pas trop utiliser..

avec la trace de A tu as donc le cos de l'angle

Jamais utilisais le trace en 1 ans.. pourtant j'ai déjà lu ça quelque part..

pour ca valeur précise il faut calcule le dernier terme du polynome charactéristique (tu connait déja la trace et le déterminant...)

EUh je suis perdu là..
Je ne pourrais pas prendre un point, trouver son image et en déduire l'angle? Pour démontrer que c'est une rotation, j'accepte, ça doit surement etre quelque part dans mon poly..
Merci! Cordialement!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Tu es en quelle classe ? Ou tu as quel niveau ?

Cordialement.

[invite88ef51f0]

Salut,
Essaye d'exprimer la matrice dans une base (a,b,v) où a et b sont deux vecteurs orthogonaux à v et orthogonaux entre eux, tu devrais retrouver une matrice de rotation sous la forme que tu connais.

[Nicolas666666]

Je suis en seconde année de l'INSA de Toulouse. En fait on fait des plus ou moins des math parce qu'on en a besoin en méca ou autre et donc ça peut parfois être un peu flou..
J'ai trouvé que si la matrice est orthogonale, que son déterminant est égal à 1 on appartient au groupe des rotations, si on travaille dans .
Pour l'angle je ne trouve pas encore.. Je pense que c'est ce (axe puis angle) qu'il cherche à nous faire faire étant donné que les seules choses que l'on me donne dans le cours est la définition du groupe des rotations donnée juste au dessus.
Cordialement

P.S. : matrice sous la forme d'une rotation que je connais? le problème c'est que je ne connais pas de matrice de rotation, c'est mon premier exo de TD sur les matrices et rotations..

[invitec053041c]

On sait (on peut montrer) qu'il existe une base adaptée (dont coincoin a parlé) dans laquelle la matrice rotation s'écrit simplement, c'est-à-dire comme cela:



Comme la trace ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit la matrice, alors tu sais que la comme des coeff diagonaux de ta matrice vaut 1+cos(theta)+cos(theta)=1+2cos (theta).
Donc tu peux connaître cos(theta), et ainsi theta à son signe près (déjà pas mal !).

[Nicolas666666]

Ok merci beaucoup!
Cordialement!