Probabilité sur C[R]

[invitecb2428ec]

Existe-t-il une probabilité p sur C[R] (pour l'étude des processus stochastiques) telle que ∀g∈C[R], ∀ε>0, p({f∈C[R], |f−g|<ε})>0 ?
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[Universus]

Bonjour,

Je ne suis pas familier avec la théorie des processus stochastiques, mais la question semblant n'être vraiment qu'une question de théorie de la mesure, elle m'intéresse tout de même. J'aimerais y réfléchir, mais je ne sais pas ce que vous entendez par C[R] ; pourriez-vous préciser je vous prie ?

Merci beaucoup

[Universus]

J'essaie de répondre à une certaine interprétation de la question.

Par exemple, si est l'ensemble des fonctions continues de dans , considérons pour tout nombre réel l'ensemble . Les divers sont disjoints ; supposons qu'ils fassent tous partie de la tribu considérée. Pour , considérons l'ensemble des réels tels que ; chaque est de cardinalité finie, en fait de cardinalité tout au plus n. Donc est dénombrable, bien que ne le soit pas. Ainsi, pour la majorité des r, est de mesure nulle.

[invitecb2428ec]

Merci beaucoup Universus,
Ceci est très claire, donc je pense que je dois me restreindre aux fonctions continues et bornées.
Dans ce cas que pensez vous? Mon but en fait est de calculer la quantité d'information à propos le signal original rapportée par la connaissance du signal résultant de sa transmission analogique bruitée.
Merci encore =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Bonjour lahmed,

Merci beaucoup Universus,
Ceci est très claire, donc je pense que je dois me restreindre aux fonctions continues et bornées.
Dans ce cas que pensez vous? Mon but en fait est de calculer la quantité d'information à propos le signal original rapportée par la connaissance du signal résultant de sa transmission analogique bruitée.
Merci encore =)

Je n'ai aucune connaissance sur la théorie de signaux, donc je ne peux pas aider à cet égard.

Cependant, la restriction aux fonctions continues bornées de dans , , ne me semble pas mener davantage à ce que vous recherchiez. L'argument est pratiquement le même.

Considérons pour tout nombre réel l'ensemble . Les divers sont disjoints ; supposons qu'ils fassent tous partie de la tribu considérée. Pour , considérons l'ensemble des réels tels que ; chaque est de cardinalité finie, en fait de cardinalité tout au plus n. Donc est dénombrable, bien que ne le soit pas. Ainsi, pour la majorité des r, est de mesure nulle.

Cet argument repose cependant sur l'hypothèse selon laquelle tous les font partie de la tribu considérée. Je dois bien admettre que je n'ai pas pensé à la façon de définir une tribu sur un espace fonctionnel... Il y a (sur ) la tribu de Borel associée à la topologie définie par la norme , cette tribu satisfaisant ainsi la supposition faite dans mon argument.

Il vous faudrait peut-être considérer une autre tribu. Je ne m'y connais vraiment pas dans ce domaine, mais d'après le peu que j'en ai compris, vous auriez potentiellement intérêt à regarder du côté de la mesure de Wiener, utile pour l'étude du mouvement brownien.