Trouver la valeur maximum atteinte par un polynome d'ordre 3

[montana31]

Bonjour,

Je suis à la recherche d'une méthode mathématique pour trouver la valeur de x qui permet au polynôme P suivant d'atteindre sa valeur maximum dans l'intervalle [ 0 <= x <= 8 ]

P= (24-2x)*(16-2x)*x.

J'ai trouvé empiriquement que le polynôme atteint sa valeur maximum avec x= Pi

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi ?

Merci.
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[Universus]

Bonjour,

Un polynôme P (comme toute fonction dérivable un nombre suffisant de fois) admet un maximum local en un point si et seulement si et .

Donc, vous devriez calculer les dérivées et de votre polynôme et chercher à savoir quelles valeurs de vérifient et .

Juste à voir l'allure de votre polynôme, n'est certainement pas la réponse (mais c'est possiblement un réel proche de ).

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

On obtient un maximum pour une valeur proche de 3,14, mais légèrement inférieure. Alors que Pi est un peu supérieur à 3,14 (Pi vaut approximativement 3,1416).

Pour trouver pour quelles valeurs P(x) atteint un maximum relatif, ou un minimum relatif, tu peux procéder ainsi (on faisait ça en seconde au milieu du vingtième siècle) :
On calcule, pour deux nombres x et y différents, la quantité . Si P est croissant sur un intervalle, pour x et y dans cet intervalle, alors r est positif; si P est décroissant sur un intervalle, pour x et y dans cet intervalle, alors r est négatif. ce sera plus facile à voir si x et y sont extrêmement proches, quasi égaux. D'où l'idée, après avoir simplifié r (le (x-y) se factorise au numérateur, donc se simplifie), de remplacer y par x et de chercher pour quels types de valeurs r est positif, pour quels x on a r<0, et évidemment, les cas où r=0.
Je te laisse essayer ce type de méthode. En fait, c'est quasiment la méthode des dérivées évoquée par Universus.

Cordialement.

[montana31]

Merci pour ces réponses pertinentes. Il s'agissait d'un problème à résoudre pour un enfant actuellement en 3° donc les dérivées n'ont pas encore été apprises.

J'avais fait une approximation rapide et je pensais que Pi était la réponse, mais je me trompais (Bac C et DEUG PC +42). C'est loin donc, mais je sais encore calculer la dérivée.

Merci pour ce rappel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Attention, quand on cherche le maximum sur un intervalle fermé, il faut aussi regarder sur les bords : il peut y avoir un maximum sur le bord ou la dérivée ne va pas nécessairement s'annuler.