Bonjour à tous,
Pourriez vous svp, m'expliquer de manière simple et à l'aide de plusieurs exemples, la manière de calculer concrètement et intuitivement la dimension d'une variété algébrique et en particulier celle d'une variété algébrique projective non singulière ?
Merci infiniment pour votre aide.
Salut,
en fait la dimension peut se definir de manière simple : c'est la taille de la plus grande chaine de fermée irreductible $F_0 \subset \dots F_n$ (ici ma chaine possède une longueur $n$).
Et puis la topologie de Zariski se définit aussi dans $P^n$, donc ce que je t'ai dit est valable pour les variétés projectives aussi (en particulier non projectives).
La manière de calculer concrètement y'en a pas mal, la dimension de $\Gamma(V)$ par exemple, le degré du polynôme de Hilbert ...
Inuitivement c'est clair : la dimension de $V$ c'est le nombre de paramètres qu'il faut pour la paramétriser.
Exemple : $A^n$ est de dimension n, $P^n$ aussi, $dim(P) =1$ si $P$ est un point ... C'est sûrement fait dans n'importe quelle livre de géométrie algébrique. Pour des compléments sur la dimension et non-singularité tu peux regarder Atiyah-MacDonald (un peu costaud mais clair et efficace).
En fait il faut avoir en tête que comme la topologie de Zariski est définie de manière algébrique, tout (au début du moins) est essentiellement algébrique. La notion de dimension aussi puisque $dim(V) = dim(\Gamma)$ si $V$ est affine. Mais attention si $Y$ est projective, en notant $S(Y)$ l'anneau des fonctions homogènes sur $Y$, qui par def est les éléments homogènes de $k[x_0, \dots, x_n]/I(Y)$ on a $ dim(Y) + 1 = dim(S(Y))$.
Ps : comment mettre Latex ici ?
Dernière modification par petrifie ; 28/03/2015 à 11h27.
Bonjour,
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J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
