bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie 0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
merci en avance
Bonjour,
Le théorème de Bolzano-Weierstrass : un espace métrique est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact.
Remarquons que la boule unité fermée d'un espace de Hilbert est un espace métrique.
bonjour Universus merci pour votre aide
en effet je pas pourquoi en va utiliser le fait que la boule unité fermée d'un espace de Hilbert est un espace
métrique.pouvez vous m'expliquer pourquoi.merci
L'origine de H admet un voisinage compact si et seulement si la boule unité fermée est compacte.
Par Bolzano-Weierstrass (et le fait que H est un espace métrique), la boule unité fermée est compacte si et seulement si elle est séquentiellement compacte.
L'ensemble E est une suite dans la boule unité fermée. Nous en déduisons que si la boule unité fermée est séquentiellement compacte, alors E admet une sous-suite convergente.
La suite E admet-elle une sous-convergente si sa cardinalité est infinie ?
De façon réciproque, si la cardinalité de E est finie, alors H est de dimension finie et le théorème de Heine-Borel répond à la question.
