espace de hilbert

[Abu Maria.]

salt.
je voudrai savoir c'est quoi un espace de hilbert , que ce qu'il a de particulier ?? est ce qu'il est un espace vectoriel ??
SVP simplifier si vous pouvez.
merci
-----

[invitebe08d051]

Salut,

Un espace de Hilbert est une espace vectoriel préhilbertien complet.

(Bien sur le produit scalaire induit une norme )

[invite5f67e63a]

Bonjour,
Des espaces de hilbert y en a juste 1 en fait c'est l'espace des suites de carrés sommables.
Bon, cest pas tout a fait vrai, c'est le cas si comme un dit il est "séparable" c'est a dire possède une famille dénombrable dense.
C'est important, parce qu'on peut y faire de la jolie géométrie, et ca intervient en mecanique quantique par exemple.

[Abu Maria.]

merci
mais de jolie géométrie??? que veut dire ca??? détaillez un peu SVP
merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

Salut,

Les espaces de Hibert sont parmi les espaces les plus intuitifs : l'espace dans lequel on vit, on a l'habitude de l'identifier à R³ muni de la distance euclidienne, qui est précisément un espace de Hilbert.

Plus généralement, un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'une norme (on peut mesurer des longueurs) qui dérive d'un produit scalaire (autrement dit : la norme vérifie l'identité du parallélogramme, ce qui correspond assez à notre intuition d'une norme)

De plus, il faut que l'espace soit complet. Intuitivement, ça veut dire qu'une suite à valeurs dans cet espace, si elle semble converger vers quelque chose, alors ce quelque chose est dans cet espace : on ne peut pas sortir, il n'y a pas de "trous")


Ca, c'est les explications "avec les mains", pour de la rigueur mathématique, tu peux taper "espace de Hilbert" sur google je suppose que tu trouveras quelque chose !


Therodre> est un Hilbert séparable et n'est pas isomorphe à , attention à l'autre hypothèse cruciale que tout le monde oublie (Wikipedia le premier)

[GrisBleu]

merci
mais de jolie géométrie??? que veut dire ca??? détaillez un peu SVP
merci.

Les espaces de Hilbert generalise, en dimension infinie, beaucoup de notion "intuitive" de notre espace euclidien a 3 dimension
+ norme, produit scalaire,
+ base (mais attention, on a le droit d'avoir une infinite de vecteurs)
C'est tres bien explique ici: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
C'est le genre d'espace utile pour le traitement du signal ou la MQ
Cdlt

[Abu Maria.]

merci beaucoup
la spécificité "complet" désigne quoi ? et qu'elle est son intérêt??
merci.

[GrisBleu]

Salut

Complet, cela signifie que les suites de Cauchy (|u[n+p]-u[n]|-->0) convergent (la reciproque etant elle toujours vraie: une suite convergente est de Cauchy). Sans ca, des theoremes pratiques ne fonctionneront pas (ex: le point fixe)
Cdlt

[Abu Maria.]

merci wlad...mais pourquoi le mot complet .??

[Abu Maria.]

et de plus
les suites de Cauchy d'après ce que j'ai lu , ses termes se rapprochent a partir d'un certain rang , donc cette suite converge toujours , et c'est pour ca qu'on l'a choisit pour définir la complétude , car on est sur qu'elle converge , il reste qu'une condition , si elle converge dans le même espace , c'est ca ??? et pourquoi on parle de notion de distance
n'oubliez pas ma 1 question...merci 1/0 ment!!!

1/0ment: infiniment , on 'est dans la rubrique math...

[Abu Maria.]

et alors...pas de réponses a mes 2 questions , allez les mathématiciens...vous savez j'ai besoin de ca dans l'électromagnétisme!!! les maths c génial.

[Abu Maria.]

pas de réponses!!!merci

[Abu Maria.]

une norme découle du produit scalaire , je l'ai compris...merci.

[GrisBleu]

et de plus
les suites de Cauchy d'après ce que j'ai lu , ses termes se rapprochent a partir d'un certain rang , donc cette suite converge toujour

rate si tu prends la suite u:n --> Q
u0=3
u1=3.1
u2=3.14
etc
Dans Q cette suite est de Cauchy, mais ne converge pas dans Q. Q est "imcomplet". La completion de Q etant R.
Par contre, un espace de Hilbert est complet.

Un exemple: si tu ne connais pas, a priori, la limite d'une suite, tu peux quand meme calculer un-up et voir si elle est de Cauchy. si ton espace est complet, tu sais alors qu'il y a une limite, sans la connaitre
++

[Abu Maria.]

merci beaucoup wlad
donc que ce qui rend l'espace de hilbert speciale des autre , puisque "normé" il n y a pas que lui qui normé
complet il n y a pas que lui qui complet..
svp C URGENT
je cherche dpuis + de 4 jours a comprendre pourquoi le choix d'un espace de hilbert , normé , complet , il y a des espace de R qui ont comme ca non??,

[Abu Maria.]

ou bien est ce qu'il existe des espace qui ne possèdent pas de produit scalaire??? et que ce qu'il le rend cet espace de Hilbert si spéciale??

[invite530099dd]

Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire complet est appelé "espace de Hilbert" : c'est une définition!

Le fait qu'il soit complet comme mentionné plus haut rend les choses bien plus pratique dans nombre de cas différents (séries, suites, fonctions...etc)

Pour trouver un espace vectoriel sans pouvoir le munir d'un produit scalaire, il faut sortir des K-espaces vectoriels (K étant C ou R), ce qui dépasse largement mes compétences.

[Abu Maria.]

merci pour votre réponse.
ce que je voulais dire
est que uisque tout espace vectoriel , possède un produit scalaire et une norme , alors pourquoi posée ces propriétés dans la définition d'un espace de Hilbert???
et de plus
peut on dire que l'intérêt de l'espace de Hilbert est que dans le cas de dim infini??,

[Abu Maria.]

désolé je veux bien comprendre

[GrisBleu]

puisque tout espace vectoriel , possède un produit scalaire et une norme

Salut
Ce n'est pas le cas, sinon, ce serait effectivement bete de nomer de 2 facon une meme chose. ex:
+ Les fonctions test des distributions forment un espace vectoriel, sans norme
+ les fonctions derivables sur [0,1] est un espace vectoriel, norme mais non complet

[invite57a1e779]

puisque tout espace vectoriel , possède un produit scalaire et une norme

Pour préciser la réponse de wlad_von_tokyo :

Il est clair que, sur tout espace vectoriel, on peut définir DES produits scalaires et DES normes, lesquelles peuvent provenir d'un produit scalaire ou non, mais la vraie question est : y a-t-il, parmi tout cela quelque chose d'intéressant ?

L'espace vectoriel des fonctions test est muni d'une topologie qui lui confère les propriétés que l'on est en droit d'attendre de cet espace ; et cette topologie n'est hélas pas normable.

L'espace des fonctions de classe C¹ sur [0,1] est lui aussi muni d'une topologie qui lui confère les propriétés que l'on est en droit d'attendre ; cette topologie est normable, mais l'espace normé ainsi obtenu n'est pas complet.

Il faut bien comprendre que la séquence mathématiques est : le problème étudié conduit à utiliser l'espace vectoriel E muni d'une topologie adéquate ; on étudie ensuite si cette topologie est métrisable, normable, puis, si c'est le cas, on étudie, dans ce nouveau cadre, si l'espace est complet.

Dans les espaces de Banach, on introduit trois topologies sur le dual : la topologie forte, la topologie *-faible et la topologie faible. Ces trois topologies sont utiles, mais seule la topologie forte est normable.

[Abu Maria.]

tout simplement et directement , puisque on parle de normes et de produit scalaires , il y des espace vectoriels qui n'en possèdent pas.c'est ca.

[invite57a1e779]

On peut définir des normes et des produits scalaires sur tout espace vectoriel, mais ça ne sert en général à rien.

[Abu Maria.]

par exemple , la ou on a pas besoin de calculer une distance , ou bien la ou on ne peut pas c'est ca??

[invited73f5536]

Bonjour.

J'ai l'impression que tu te poses les mauvaises questions. Lorsqu'on introduit une norme sur un espace vectoriel, on ne choisit pas cette norme au hasard. On prend une norme qui est adaptée au problème qu'on étudie.
Il se trouve que parfois, cette norme a des propriétés agréables, comme par exemple les normes associées à des produits scalaires, ce qui justifie d'étudier leurs propriétés de manière générale.

[Abu Maria.]

vraiment merci pour vos réponses
juste une dernière ou bien avant dernier chose
la notion de complétude
cette notion apparait lorsque on est dans le cas de dimension infini , car dans ce cas ou on a une suite d'éléments , donc on parle de limite de suite de Cauchy , vrai ou bien je tire des mots comme ca ?

[Abu Maria.]

alors je tire comme ca!!!!

[invite986312212]

salut,

les suites de Cauchy existent aussi en dimension finie. Ce qui se passe c'est que les espaces vectoriels réels de dimension finie et équipés de n'importe quelle norme sont nécessairement complets, donc on ne le mentionne pas.