Notion de pseudo vecteurs : questions

[freemp]

Bonjour,

Je souhaiterai comprendre certaines notions sur les "pseudos-vecteurs" dans le cas particulier du produit vectoriel, j'ai un bagage limité en maths car je suis de formation physicienne (si il est possible ne pas me parler de produit tensoriel ou de tenseur, je ne les connais pas encore très bien).

Je vous invite à directement aller à la partie conclusion si vous ne souhaitez pas connaitre le détail (je justifie d'abord ce qui m'a amené à mes conclusions).


Soit C=A^B
R1=(x,y,z) base directe
R2=(x',y',z') avec x'=x,y'=y,z'=-z : base indirecte

Le calcul de C donne en coordonnées dans R1 :





Dans R2 :





On constate donc que l'expression mathématique du produit vectoriel dans une base indirecte est l'opposé de celle du calcul dans une base directe :




Mais si je fait le changement de base à mon vecteur calculé dans R2, je retrouve exactement la même expression que mon vecteur calculé dans R1 donc :

Conclusion :

• La formule de calcul d'un produit vectoriel (avec les composantes) dans une base indirecte est différente de celle dans une base directe (elles sont opposées en signe).
• Que le calcul soit effectué dans une base directe ou indirecte, le résultat sera le même vecteur : le pseudo vecteur en soit ne dépend pas de l'orientation de la base, c'est juste la formule de calcul qui est fonction de l'orientation de la base (pourriez vous me dire si c'est bien le cas car j'ai lu plusieurs fois le contraire sur internet...?).

Maintenant, ma question :

J'ai compris pourquoi le symétrique d'un produit vectoriel par rapport à un plan de symétrie des vecteurs A et B (C=A^B) sera l'opposé du symétrique.

Mais je n'arrive pas à trouver le lien logique qu'il y a entre :
La formule permettant de calculer le produit vectoriel dépend du choix de la base.
Et :
Le symétrique d'un produit vectoriel par rapport à un plan de symétrie des vecteurs du produit sera l'opposé de son symétrique.

Merci.
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[Universus]

Bonjour,

Votre approche semble cohérente, mais ce que j'ai toujours vu, c'est de garder la même formule quelle que soit la base utilisée.

Ce faisant, si vous fixez des vecteurs A et B et si vous calculez et (en utilisant la même formule entre composantes) selon deux bases et orientées différemment, vous obtenez .

C'est un pseudo-vecteur de poids w=1, encore qualifié de « vecteur axial », car si et sont deux bases reliées par une transformation , alors les composantes du pseudo-vecteur sont liées via



avec w=1.

Un « vrai » vecteur, encore qualifié de « vecteur polaire », est un « pseudo-vecteur de poids 0 ».

Remarque : Ici, seule la parité du poids importe vraiment. J'ai déjà vu d'autres définitions de « pseudo », où la notion de poids est plus pertinente, mais elles sont peut-être moins bien adaptées au cas du produit vectoriel.

Une différence de cette approche avec la vôtre est que la caractère « pseudo » d'un vecteur tient à sa façon de se transformer sous les changements de bases. Dans votre approche, tout est concocté pour que le vecteur-produit se transforme comme un « vrai » vecteur ; j'imagine que cela peut avoir un certain intérêt, mais ce n'est pas pas le même.

Nous pourrions dire que votre approche, en changeant activement les formules selon l'orientation, correspond à étudier comment le vecteur-produit « change » sous des transformations passives ; la « mienne », quant-à-elle, correspond à étudier comment le vecteur-produit change sous des transformations actives.