Questions à propos des vecteurs d'états en Mécanique Quantique

[dano57]

Bonjour, j'ai deux questions à propos des vecteurs d'états:

- Pour un oscillateur harmonique à une dimension avec un état superposition linéaire à coefficient complexes de deux états propres, j'aimerais savoir si ces deux états sont toujours orthogonaux et donc bra(état0)ket(état1)=0 (car forment une base de l'espace de Hilbert à 2 dimensions) ? Parce que ces termes apparaissent lorsque j'essaie de voir si la valeur moyenne de la position dépend également du temps.

- Deux états propres associés à une même valeur propre dégénérée sont-ils également orthogonaux, ou au contraire proportionnels ? Ainsi ces états propres formeraient une base de Hilbert même si les valeurs propres étaient dégénérées ?

Merci pour vos réponses !
-----

[coussin]

Oui, tout est orthogonal (pour l'oscillateur 1D, c'est sûr. Je réfléchis à deux états dégénérés pas orthogonaux et j'en trouve pas pour l'instant…)

[vaincent]

Bonjour,

- Deux états propres associés à une même valeur propre dégénérée sont-ils également orthogonaux, ou au contraire proportionnels ? Ainsi ces états propres formeraient une base de Hilbert même si les valeurs propres étaient dégénérées ?

Si une valeur propre est dégénérée (d'ordre 2 par exemple), alors le sous-espace propre associé a pour base les 2 états propres correspondant. Ils sont donc orthogonaux par définition.

[chaverondier]

Deux états propres associés à une même valeur propre dégénérée sont-ils également orthogonaux, ou au contraire proportionnels ? Ainsi ces états propres formeraient une base de Hilbert même si les valeurs propres étaient dégénérées ?

Si la> et lb> sont deux états propres de même valeur propre vis à vis d'une observable O, alors toute combinaison linéaire de ces deux état propres est aussi un vecteur propre de O de même valeur propre (ce qui répond à la possibilité d'avoir deux états propres d'une observable O de même valeur propre associée non orthogonaux quand l'espace propre est de dimension > 1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour,

Si une valeur propre est dégénérée (d'ordre 2 par exemple), alors le sous-espace propre associé a pour base les 2 états propres correspondant. Ils sont donc orthogonaux par définition.

Bonsoir,

Et non

Un sous-espace propre de dimension 2 est caractérisé par une même et unique valeur propre et contient une infinité de vecteurs propres.

Cette infinité de vecteurs propres peuvent être représentés par 2 vecteurs propres quelconques non colinéaires.

Il est agréable et souhaitable que ces 2 vecteurs de base soient orthogonaux et normés.

[dano57]

Merci pour ces précieuses réponses. Par contre si je suis bien, une base d'un Hilbert (dans mon cas à deux dimensions) n'est alors pas nécessairement orthonormale? Et pour un vecteur d'état fonction de deux états propres, la valeur moyenne de la position dans cet état dépend du temps seulement si les deux états propres sont non-orthogonaux ? car j'obtiens quelque chose de la forme:

<x> = C<a*(x,t=0)|X|a(x,t=0)> +C <b*(x,t=0)|X|b(x,t=0)> + D<b*(x,t=0)|X|a(x,t=0)> + E <a*(x,t=0)|X|b(x,t=0)>

Avec C réel et (D,E) complexes et dépendants du temps

Merci !

[coussin]

a et b sont vecteurs propres de quel opérateur ? S'ils sont états propres de X, les termes proportionnels à D et E dans ton expression sont nuls (eut égard à ce qu'on t'a dit précédemment).
Bref, il te faut X|a> et X|b>. Après, tu déroules…

[vaincent]

Et non

effectivement, pas besoin d'être orthogonal pour former une base, il suffit juste d'être non-colinéaire.