Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

[invite2a41aac8]

Bonjour !
J'ai un petit soucis de calcul en mécanique quantique...
On nous donne l'hamiltonien de couplage d'un modèle triangulaire d'ion moléculaire H₃⁺ :
H=-B[|1><2| + |2><3| + |3><1| + |2><1| + |3><2| + |1><3|]

on me demande d'en écrire la matrice ds la base |1>,|2>,|3> :
j'obtiens :

0 -B -B
H = -B 0 -B
-B -B 0

On me demande de trouver les valeurs propres VP_i :
VP₁=-2B VP₂=B VP₃=B

Puis on me demande de calculer le vecteur propre |VP₁> associé à la valeur propre VP₁=-2B
et c'est ici que je coince...
j'obtiens :
je sais que H|VP₁> = -2B|VP₁>

j'obtiens alors :

0 -B -B C₁ C₁
-B 0 -B * C₂ = -2B* C₂
-B -B 0 C₃ C₃

ce qui me donne :

-2B -B -B C₁
-B -2B -B * C₂ = 0
-B -B -2B C₃

et la je m'en sors pas du tout...please....help !
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[invite2a41aac8]

mince tout s'est décalé...dsl j'espère que vs retrouvez mes matrices dans ce fouilli....

[invite2a41aac8]

et en plus j'écris des bétises...les coeff -2B de ma dernière matrice st en fait +2B....encore dsl pr la lecture

[yahou]

Il y a des méthodes systématiques pour résoudre ce genre de système, mais là on voit directement sur ta première matrice que le vecteur (1,1,1) est vecteur propre avec la valeur propre -2B. C'est d'ailleurs la solution la plus intuitive car elle possède la symétrie du problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a41aac8]

c'est pas faut...en fait c'était tout bête mais je m'en suis aperçu après avoir posté....
après normalisation j'obtiens :
|VP₁> = (1/3^1/2)*(|1> + |2> + |3>)
Mais j'en ai une qui est plus dure et cette fois-ci....c'est plus dur !!!
pr calculer les autres vecteurs propres VP₂ et VP₃
de valeurs propes -B ??
je me retrouve avec 3 équations identiques C₁=C₂ + C₃ et la pr trouver les vecteurs propes je vois pas mm en normalisant...

[yahou]

Là encore il est possible de ne pas faire les calculs.

L'espace des états est la somme du sous-espace propre Vect(1,1,1) associé à la valeur propre -2B, et d'un sous-espace propre de dimension 2 (car +B est valeur propre double) orthogonal au précédent. Donc tout vecteur orthogonal à (1,1,1) est vecteur propre avec la valeur propre +B (d'ailleurs le dernier système à 3 équations identiques c1+c2+c3=0 traduit précisément la nullité du produit scalaire). Par ailleurs |vp2> et |vp3> sont orhogonaux entre eux.

Comme |vp2> et |vp3> ont la même valeur propre, le choix n'est pas unique ; on peut par exemple prendre |vp2>= et pour finir |vp3>=|vp1>x|vp2> (x=produit vectoriel) qui assure les propriétés d'orthogonalité souhaitées.

[inviteb836950d]

Bonjour
on peut également se servir de la théorie des groupes, H₃⁺ : groupe D_3h