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Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres



  1. #1
    NoWnOw[PHY-CHIM]

    Question Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres


    ------

    Bonjour !
    J'ai un petit soucis de calcul en mécanique quantique...
    On nous donne l'hamiltonien de couplage d'un modèle triangulaire d'ion moléculaire H3+ :
    H=-B[|1><2| + |2><3| + |3><1| + |2><1| + |3><2| + |1><3|]

    on me demande d'en écrire la matrice ds la base |1>,|2>,|3> :
    j'obtiens :

    0 -B -B
    H = -B 0 -B
    -B -B 0

    On me demande de trouver les valeurs propres VPi :
    VP1=-2B VP2=B VP3=B

    Puis on me demande de calculer le vecteur propre |VP1> associé à la valeur propre VP1=-2B
    et c'est ici que je coince...
    j'obtiens :
    je sais que H|VP1> = -2B|VP1>

    j'obtiens alors :

    0 -B -B C1 C1
    -B 0 -B * C2 = -2B* C2
    -B -B 0 C3 C3

    ce qui me donne :

    -2B -B -B C1
    -B -2B -B * C2 = 0
    -B -B -2B C3

    et la je m'en sors pas du tout...please....help !

    -----

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  4. #2
    NoWnOw[PHY-CHIM]

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    mince tout s'est décalé...dsl j'espère que vs retrouvez mes matrices dans ce fouilli....

  5. #3
    NoWnOw[PHY-CHIM]

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    et en plus j'écris des bétises...les coeff -2B de ma dernière matrice st en fait +2B....encore dsl pr la lecture

  6. #4
    yahou

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    Il y a des méthodes systématiques pour résoudre ce genre de système, mais là on voit directement sur ta première matrice que le vecteur (1,1,1) est vecteur propre avec la valeur propre -2B. C'est d'ailleurs la solution la plus intuitive car elle possède la symétrie du problème.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

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  8. #5
    NoWnOw[PHY-CHIM]

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    c'est pas faut...en fait c'était tout bête mais je m'en suis aperçu après avoir posté....
    après normalisation j'obtiens :
    |VP1> = (1/31/2)*(|1> + |2> + |3>)
    Mais j'en ai une qui est plus dure et cette fois-ci....c'est plus dur !!!
    pr calculer les autres vecteurs propres VP2 et VP3
    de valeurs propes -B ??
    je me retrouve avec 3 équations identiques C1=C2 + C3 et la pr trouver les vecteurs propes je vois pas mm en normalisant...

  9. #6
    yahou

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    Là encore il est possible de ne pas faire les calculs.

    L'espace des états est la somme du sous-espace propre Vect(1,1,1) associé à la valeur propre -2B, et d'un sous-espace propre de dimension 2 (car +B est valeur propre double) orthogonal au précédent. Donc tout vecteur orthogonal à (1,1,1) est vecteur propre avec la valeur propre +B (d'ailleurs le dernier système à 3 équations identiques c1+c2+c3=0 traduit précisément la nullité du produit scalaire). Par ailleurs |vp2> et |vp3> sont orhogonaux entre eux.

    Comme |vp2> et |vp3> ont la même valeur propre, le choix n'est pas unique ; on peut par exemple prendre |vp2>= et pour finir |vp3>=|vp1>x|vp2> (x=produit vectoriel) qui assure les propriétés d'orthogonalité souhaitées.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

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  11. #7
    philou21

    Re : Pb mécanique quantique : calcul de vecteurs propres

    Bonjour
    on peut également se servir de la théorie des groupes, H3+ : groupe D3h

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