Espace de Hilbert

[mona123]

bonjour pouvez vous s'il vous plait maider a demontrer ce resultat
soit H = L₂ (0,1) et C1 l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] qui ont une dérivée continue Soient t∈ [0,1] et on définit L: C1 → F par l (h) = h '(t)
montrer qu'il n'y a pas une fonction linéaire bornée sur H qui accepte coïncide avec L sur C1
voici ma reponse
Si c'était le cas, alors il existerait une constante C>0 telle que, pour toute fonction
f∈C1, |L(f)|≤C∥f∥₂
pour la suite \displaystyle f_n(x)=\cos\big(n(x-t)\big) on a
|L(f_n)|=|n sin(n(x-t))|
et
∥fn∥₂²=1/2[1+1/_2n(sin(2n(1-t))+sin(2nt))]
mais je ne sait pas comment conclure .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci
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[Tryss]

Je te conseille de majorer par 1, ce qui donne une majoration facile de

Ensuite, il faut calculer :



Il suffit alors de linéariser le sinus pour avoir une intégrale immédiate à calculer

[Mocassins]

Bonjour,

L'énoncé est probablement incorrect: une application linéaire entre espaces vectoriels normés n'est bornée que si elle est nulle.

S'il s'agit de montrer qu'il n'existe pas de prolongement linéaire continu de à , c'est une façon étrange de poser la question, puisque c'est équivalent à dire que n'est pas continue.
Cela dit, si c'est bien cela qui est demandé, votre démarche est bonne, mais la suite de fonction choisie n'est pas vraiment la bonne puisque pour tout entier naturel (vous avez mal appliqué votre définition de ).

[mona123]

bonjour Tryss oui je suis trompé
pour \displaystyle f_n(x)=\sin\big(n(x-t)\big)
on a
\displaystyle |L(f_n)|=|n \cos(n(t-t))|=n
et
∥f∥₂≤1 car on major |f_n(x)|² par 1(sans caculer l'integral)
on aura |L(f_n)|≤C∥f_n∥₂ est equivalent a n≤C pou tout n dans N ce qui est absurde.ma reponse est elle juste maitenent.
remarque l est une forme linéneaire dans lénoncé
merci

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