Bonjour,
Quelle est la définition officielle d'un espace de Hilbert ? Je suis tombé sur plusieurs définitions différentes qui ne me semblent pas équivalentes. Pouvez vous me donner la définition officielle et me dire pourquoi chaque caractéristique demandée est importante, notamment pour faire de la mécanique quantique ?
Bonjour,
Qu'est ce qui te chiffone dans la def de wiki par exemple?
C'est la bonne définition.Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet.
Bonjour,Envoyé par MiPaMa
Donc il peut poser la question: C est quoi un espace prehilbertien, c'est quoi un espace complet?
La définition officielle est facile à trouver, on se demande bien pourquoi la poser sur un forum.
Pas le cas de la seconde partie de la question.
Pourquoi ne pas y proposer de réponse, plutôt? (Et considérer la première question comme une "question rhétorique", un simple préambule.)
Dernière modification par Amanuensis ; 27/01/2014 à 16h33.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Alors en fait, je ne sais pas deja si le corps de définition doit être réel ou complexe, cela semble varier en fonction des auteurs et des ouvrages.
Ensuite, j'ai également trouvé que l'on impose en plus qu'une serie absolument convergente doit etre convergente.
D'autre part, si on prend un espace prehilbertien, mais que l'on met dessus une norme qui n'est pas donné par le produit scalaire et qui rend l'espace complet. Est ce un espace de Hilbert ?
J'aimerais bien des exemples qui ne soient pas dimension finie aussi, si c'est possible.
Ma seconde question m'interesse beaucoup aussi.
Merci à vous 3 de vos réponses.
Je vous prie d'excuser mon orthographe je suis sur tablette.
L'un ou l'autre. Un espace de Hilbert peut etre réel ou complexe (en fait si on va voir Bourbaki je serai pas surprise si la definition generale etait pas sur un corps valué complet quelconque.
Non, c'est pas "en plus". C'est equivalent à la completude pour un espace normé.Ensuite, j'ai également trouvé que l'on impose en plus qu'une serie absolument convergente doit etre convergente.
Bien sur que non. Ton espace doit etre complet pour la norme induite par le produit scalaire, sinon ton produit scalaire "sert à rien".D'autre part, si on prend un espace prehilbertien, mais que l'on met dessus une norme qui n'est pas donné par le produit scalaire et qui rend l'espace complet. Est ce un espace de Hilbert ?
Il y a essentiellement un seul exemple de dimension infinie qui soit séparable (qui possede une famille dénombrable dense), c'est l²(K) (ou K est R ou C), l'ensemble des suites de carré sommable, muni du produit scalaire que tu imagines.J'aimerais bien des exemples qui ne soient pas dimension finie aussi, si c'est possible.
C'est une question plus délicate.Ma seconde question m'interesse beaucoup aussi.
On peut fournir vraiment des types de réponses tres differentes.
On peut dire en premiere approche que les espace de hilberts sont le premier exemple non trivial d'espace vectoriel pouvant etre de dimension infini, mais qui reste quand meme assez sympathique pour qu'on puisse y faire de la géométrie. La complétude est une propriété clé. Cela fournit de puissants theoremes d'existene (point fixe par exemple), et c'est vraiment une propriété a la base de tout. En analyse fonctionnelle (qui sont les maths sur lesquels s'ancrent la MQ) c'est vraiment une propriété clés qui distingue les bons espaces des moins bons. Sans elle tout devient veritablement (beaucoup) plus difficile.
On peut fournir des réponses beaucoup plus sophistiquées et plus géométriques.
Pour le lien avec la physique:
- on définit une notion de base orthonormée, differente de celle de base algebrique, car on y autorise une somme infinie. Il y aura même une notion de base généralisée, que les physiciens appellent bra et ket (Le produit scalaire permet de construire un isomorphisme de l'espace de Hilbert vers son dual, alors qu'en générale, en dimension infini, un espace vectoriel n'est pas isomorphe à son dual)
- la completude et l'existence d'un produit scalaire sont nécessaire pour définir (et montrer l'existence de) la notion d'opérateur adjoint
(cf. théorème
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...exe_ferm%C3%A9
et je ne me rappelle plus très bien mais le lemme de Riesz intervient aussi)
ce qui est important dans la définition d'opérateur autoadjoint (ce que sont les "observables")
- le produit scalaire est bien liée aux "probabilité de transition" d'un état à un autre. (C'est une gros ce qui reste du produit scalaire dans l'espace projectif associté a l'espace de Hilbert du départ)
Une petite précision.
millième de seconde de réflexion...: un espace de Hilbert est un espace vectoriel isomorphe à son dual.
Exemple très utilisé de la transformée de fourier sur
Pour surenchérir sur le fait que les espaces de Hilbert constituent un bon cadre de travail, je pense qu'il n'est pas ininteressant de savoir que la classe des espaces de Banah, bien qu'elle aussi possédant de bonne propriété, est deja un cadre beaucoup plus compliqué. A titre d'exemple on ne connait pas la classification des espaces de Banach, alors que celle des espaces de Hilbert est connu depuis longtemps. C'est un sujet qui interesse beaucoup de physiciens mathématiques et beaucoup de matheux également. On ne sait meme pas si le groupe des isométries agit transitivement sur la sphère unité pour un Banach quelconque! C'est dire si on ne sait pas grand chose.
Meme dans le cadre des espaces de Hilbert, des questions serieuses restent encore ouvertes, par exemple, est ce qu'un Hilbert possède un sous espace fermé invariant pour tout endormophisme continu de celui-ci. Gowers est un spécialiste de ce genre de question, et a recu une medaille Fields pour avoir prouvé que le seul Banach séparable isomorphe a tout ses sous espaces fermés de dimension non fini est l².
Bref si l'on sait aujourd'hui que la notion d'espace de Hilbert "nue" n'est pas suffisante pour capturer la mecaQ, on a pas envie de franchir le pas qui consisterait à se placer dans un Banach (les directions d'approfondissement de la question sont autres... et à mon avis plus interessantes que simplement remplacer Hilbert par Banach... ne serait ce que parce que c'est beaucoup trop dur en l'etat).
Non, L² est isomorphe à son dual topologique.millième de seconde de réflexion...: un espace de Hilbert est un espace vectoriel isomorphe à son dual.
Exemple très utilisé de la transformée de fourier sur
Ce qui ne prouve pas en toute rigueur qu'il n'est pas isomorphe à son dual. Ce qui le prouve c'est le théoreme d'Erdos-Kaplanski, voir par exemple ici. La preuve n'est pas éclairante, donc je prefere ne pas en parler (c'est un arguement ensembliste, je ne connais pas de joli argument géométrique).
L'espace L²(X) est isomorphe a son dual ssi X est un ensemble fini.
Bonsoir MiPMa,
Pourrais-tu expliquer ou illustrer la portion de phrase que j'ai isolé.
Merci d'avance.
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Allons y dans la surenchère sur les détails arrides
- Le dual d'un espace de Hilbert est bien sur son dual topologique, par convention.
C'est comme quand l'on dit un morphisme de groupe, ça préserve la structure de groupe, ou morphisme d'espace vectoriel, ou d'algèbre. Il y a bien sur un abus pour la notion de dual: on voudrait en générale que le dual d'un object soit un object qui ait la même structure, on aimerait bien que le dual d'un groupe soit un groupe, que le dual d'une algèbre soit une algèbre, mais c'est pas si simple. Pour un espace de Hilbert, ça marche.
- Pour ce qui est d'un espace vectoriel sans autre structure, ce n'est effectivement pas isomorphe à son dual ("algebrique") en dimension infini, et la raison en est très simple: par définition de base (algebrique)
On a donc une famille libre de vecteurs dans l'espace dual:
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En revanche je voudrais ajouter qqch sur l'idée même d'espace de Hilbert:
Un espace vectoriel de dimension finie a automatiquement un produit scalaire (ce n'est pas canonique, i.e. on peut en choisir un arbitrairement) et l'espace est complet. Ces deux propriétés sont perdues en dimension infinie, et finalement on définit un autre object qui peut etre de dimension infinie mais qui possède ces proriétés.
Pour le premier point c'est pas pour rien qu'on précise dual topologique. Bref, c'est un point de vocabulaire, passons.
Pour le second point votre démonstrations n'en est pas une. Vous prouvez que la famille duale d'une base d'un EV de dim infinie n'est pas génératrice du dual, ce qui est vrai mais ne prouve pas que le dual n'est pas isomorphe a l'espace de départ (vous prouvez simplement que la fleche naturelle qui realise un isomorphisme en dimension finue n'en est plus un en dim infinie, mais ca ne prouve pas qu'on pourrait pas construire un isomorphisme differement). Ce point est plus subtil.
Pr mari posa si cela vs intéressé, ouvrons un autre fil. Car ce serait un peu long d'en parler ici.
Bonjour,
Je viens bien que nous ouvrons un fil ensemble. Il faudrait que l'on cible le problème et n'oublies pas que c'est une mathématicienne, comme toi, qui doit s'adresser a des physiciens, comme moi, qui pratiquons les mathématiques avec quelques hérésies a faire souffrir les mathématiciens;
Je m'en occuperai ce soir. J'ai une après midi chargée.
C'est mon cas et il n y a pas urgence.
Merci à tous pour ces précisions fort intéressantes !
Pourriez vous, Amanuensis, Mariposa, MiPaMa ou Noix10, détailler un peu plus vos réponses à ma seconde question ?
Sinon MiPaMa, tu peux répondre à la digression de Mariposa sur ce fil, ça ne me gène pas.
Bonne soirée.
Je n'ai proposé aucune réponse à la seconde question! Et je reste sur ma faim aussi.
La forme même d'une réponse ne m'est pas claire.
Par exemple, commençons par le commencement, en prenant une caractéristique des plus simples (juste pour que la réponse soit exhibée): pourquoi la caractéristique "espace vectoriel" est importante, notamment pour faire de la mécanique quantique ?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonsoir,
En très court, il est apparu que les expériences de MQ relevaient d'une équation aux dérivées partielles linéaires: l'équation de Schrödinger dont les solutions sont des combinaisons linéaires du problème aux valeurs propres associés, d'où espace vectoriel
Comme le sens de la fonction d'onde est interprétée par son modulo-carré, cela nécessite l'introduction d'un produit scalaire. et voilà l'espace de Hilbert.
Bonsoir,
Je vais utiliser ton argument et me faire aussi bête que tu peux l'être quand tu t'appliques...
En quoi a-tu besoin d'un produit scalaire et d'un espace de Hilbert pour calculer A^2+B^2 ?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est une question interessante, et qui l'un dans l'autre est liée à la question de Mariposa.
J'ai bien une réponse, mais... elle ne me satisfait pas completement car elle "prend" un peu le film a l'envers (néanmoins conceptuellement c'est souvent l'histoire qui prend le film a l'envers, et on ne rend compte qu'a la fin de comment il faut le voir dans le bon sens... donc bon).
Personnellement j'ai tendance à voir la mecanique quantique comme un long processus de mutation de la notion d'espace d'etat. C'est probablement une vision parcellaire, meme si elle est sans conteste elegante.
Je ne suis pas spécialiste en histoire de la MQ, mais il me semble que la premiere constation fondamentale sur le point experimentale, c'est à dire celle de Heisenberg, cela a été de dire, l'espace des etats d'un petit systeme ne peut pas etre modélisé de la meme façon qu'on le fait pour les gros systemes. Il y avait un point crucial auxquel on ne pouvait pas echapper, qui etait le fait que l'algèbre des fonctions sur l'espace des etats (encore à definir) d'un systeme microscopique devrait absolument etre non commutative. C'est à mon sens le point le plus fondamental de toute la mecanique quantique.
A partir de là (bon l'histoire ne s'est pas faite exactement comme ca, mais d'un point de vue coneptuel, c'est, je pense, une excellente façon de comprendre ce qu'il s'est passé, ce qui a été fait et aussi... ce qui reste à faire), il a fallu trouver le bon objet mathématique pour remplacer la notion d'espace d'etat, et ca a mis un peu de temps à se decanter mais ca s'est fait, parce que le temps était mur, et qu'en fait les matheux s'etaient posés exactement les questions qui amenaient sur les chemins de la réponse. En fait c'est assez surprenant parce que les physiciens n'ont pas trop vu les choses comme ça au depart (meme aujourdh'ui d'ailleurs), mais les matheux juste avec l'avènement de la MQ, et sans vraiment trop le savoir d'ailleurs, etaient en train de developper pile poil les outils qui permettraient d'interpreter les calculs que l'on fait en MQ et les objets que l'on introduit exactement comme les analogues des objets classiques, que l'on introduisait sur les espaces d'etats classiques, mais sur ces "espaces d'etats quantiques". La notion d'espace de Hilbert, et son introduction en MQ, a été un premier pas vers cette conceptualisation. Mais comme je l'ai dit plus tot, ca n'etait pas du tout suffisant.
Je détaille tout à l'heure mon laius (la tout ce que j'ai dit reste flou) et je reviens sur le fait que la notion d'espace de Hilbert n'etait pas suffisant, il fallait ajouter de la structure additionnelle pour que l'on retrouve un "espace d'etat".
Edit: Bon c'est des choses que j'ai deja raconté quelques fois ici, plus ou moins en detail, de façon plus ou moins heursitiques, donc ceux qui ont l'habitude de lire ma prose ne trouveront pas grand chose de nouveau.
Parler de non commutativité est déjà en soi intéressant. Si on prend les espaces d'état "classiques", les opérateurs étant des fonctions E -> R, la notion même de commutativité entre opérateurs ne s'applique pas.
Sûr que la non-commutativité est essentielle à la PhyQ, mais la non-commutativité de quoi? Et comment passe-t-on de là à un espace d'état ayant une structure vectorielle?
Il me semble qu'il faut passer par une notion de "mesure" bien différente de celle classique, par les observables et la définition si bizarre du résultat de la mesure comme valeur propre de l'état postérieur à la mesure. Non?
(Notons qu'il y a un cas où une structure vectorielle apparaît naturellement même en classique, c'est quand l'état est décrit comme un mélange statistique: si on prend comme "base" les états possibles, et comme vecteurs les proportions des états dans le mélange, on a bien une structure vectorielle telle qu'un mélange donné est un rai de l'espace vectoriel. Et l'espérance mathématique d'une mesure se présente comme un opérateur linéaire, une forme. Mais toujours pas de commutativité!)
Dernière modification par Amanuensis ; 28/01/2014 à 20h17.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je parle ici de commutativité pour cette algèbre au sens de la structure d'algèbre que l'on a dessus. On peut multiplier des fonctions entre elles... Je suis d'accord que le statur physique de cette opération n'est pas claire et je reviens la dessus tout de suite.
La non commutativité de l'algèbre des observables. En fait, il y a plusieurs manières de comprendre et d'interpreter les relations d'Heisenberg, celle que vous citez ensuite, qui introduit une notion d'ordre dans les mesures. On mesure d'abord la position puis l'impulsion, ou on mesure l'impulsion puis la position et on obtient qqch de different en general. Mais il y a une autre manière de voir cela, c'est de dire que les fonctions x et p sur l'espace des etats ne commutent pas (je reviendrai apres sur le statut de ces "fonctions" car ce ne sont pas bien sur des fonctions au sens classique), au sens du produit. Alors que deux fonctions f et g continues sur un espace classique, elles, ont un produit qui commute bien.Sûr que la non-commutativité est essentielle à la PhyQ, mais la non-commutativité de quoi? Et comment passe-t-on de là à un espace d'état ayant une structure vectorielle?
A parti de là on peut unifier la notion de mesure de cas classique au cas quantique.Il me semble qu'il faut passer par une notion de "mesure" bien différente de celle classique, par les observables et la définition si bizarre du résultat de la mesure comme valeur propre de l'état postérieur à la mesure. Non?
Je décrit d'abord donc le passage de la notion d'espae d'etat classique a celle d'espace d'etat quantique, autour duquel je tourne depuis le debut.
L'idée fondamentale c'est de remplacer l'espace des etats X, par l'algèbre commutative des fonctions continues (complexes) dessus (en premiere approximation, justement cette structure n'est pas suffisante en fait). Qu'est ce qu'une mesure de notre systeme, c'est exatement ce que vous dites dans la fin de votre message, c'est une forme linéaire continue (positive) sur C(X). Il se fait qu'on possède un theoreme disant qu'une telle mesure c'est une intégrale
La strucure vectorielle n'apparait pas dans l'espace d'etat, au sens classique, mais dans l'algèbre des observables, cette C(X) dessus.
Pour la mecanique quantique, on remplace C(X), par une algèbre non commutative (presque) quelconque. Y a plus de X. Mais on a vu au dessus qu'on en avait de toute façon pas besoin. On travaille directement dans C(X^quantique) (sans un vrai X^quantique), qui est par exemple une lagèbre matricielle. On répond à la question posée plus haut, i.e on a une algèbre de fonctions non commutatives sur un espace (qui n'existe pas en tant que tel, mais dont on peut quand meme en donner des avatars).
Si on poursuit l'analogie du cas classique, alors un mesure sur X^quantique, c'est une forme linéaire (positive) sur C(X^quantique)... par exemple un coefficient matriciel <x|A|x>.
Dans la pratique, on va prendre une sous algèbre d'opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert H, comme ce C(X^quantique) (mais je tiens à preciser que meme ca ca n'est pas suffisant), et on retrouve la notion d'observable en MQ, la notion de mesure en MQ et.... l'espace de Hilbert de celle ci!
Personnellement je trouve ca conceptuellement tres satisfaisant.
Je reviens sur le debut, à la lumière de ce que je viens d'expliquer.
Cas classique, on a un espace X, on lui associe une algèbre commutative C(X) (au sens de la multiplication des fonctions), et on interprete une mesure comme une forme linéaire dessus.
En quantique, on a directement un C(X^quantique), qui est une l'alagèbre des observables d'un systeme quantique.
Evidement, il n'est pas simple de (et pour ma part, je dois avouer que je ne me l'explique pas trop, mis a part d'un point de vue formel avec Heisenberg) pourquoi la commutativité de la multiplication des fonctions sur X (les observables dessus donc), est l'analogue de la non commutativité de x et p (mis a part le fait qu'on a tout fait pour). A priori la commutativité des fonctions sur X n'a pas trop de sens physique, alors que la non commutativité des observables x et p (par exemple) semble liée a la notion de temporalité et de mesure... C'est pour moi pas forcement tres clair. Mais je le vois comme ça, si l'on interprete la relation d'Heisenberg au sens premier comme [x,p] non nul=> C(X^quantique) ne peut etre commutative, cela demande d'interpreter le fait que sur un espace classique le fait que x et p commute comme le fait qu'on puisse les mesurer simultanément... Ce qui peut se faire (il me semble, mais demande d'introduire un peu plus de technologie), je reviendrai la dessus plus tard.
Oui, je suis aussi un adepte de l'approche algebrique de la mécanique quantique, plus de précision moins de blabla.
La structure des observables (dans les axiomes de haag et kastler en tout cas) est celle de C*-algèbre. Si l'on se donner en premier cette algèbre, l'ensemble des états est alors déterminée (cf. definition du genre formes linéaires positive normalisée (normalisation dépend de si l'algèbre est unitaire ou non)).
Mais on peut aussi se donner l'ensemble des états X et construire une algèbre, mais qui n'aura pas la forme C(X). Le problème mathématique est de pouvoir définir un produit sur le dual de <X> (notation que j'ai inventée qui signifie: l'espace vectoriel généré par l'ensemble des états). Si c'est possible on a une algèbre de von Neumann, et donc en particulier une C*-algèbre.
On peut aussi considérer que la donnée d'un espace de Hilbert est la donnée des états (à travers soit le vecteurs eux même, soit les "density" matrix), l'algèbre étant celles des opérateur bornées sur l'espace de Hilbert. (On peut aussi se donner restreinte cette algèbre, en ce donnant un groupe de symmétrie)
C'est confondre observable et état. L'espace des état est la variété X et l'algèbre des observable est effectivement C(X).L'idée fondamentale c'est de remplacer l'espace des etats X, par l'algèbre commutative des fonctions
error-undefined string... La fait que l'on ne peut déterminer la position et l'impulsion d'un état est bien sur liée à l'object mathématiquement décrivant un état. Dans le cas où ce dernier est un vecteur de l'espace de Hilbert, il n'a pas de position et d'impulsion déterminé s'il n'est pas un vecteur propre de l'opérateur position et impulsion simultanément.Evidement, il n'est pas simple de (...) pourquoi la commutativité de la multiplication des fonctions sur X (les observables dessus donc), est l'analogue de la non commutativité de x et p
Bonsoir,
Because Von Neumann :
[...] la théorie est sous-tendue par deux formalisations heuristiques, concurrentes et équivalentes, avec d'une part la formalisation matricielle de Werner Heisenberg et d'autre part l'approche par les équations différentielles ondulatoires d'Erwin Schrödinger. Il manque une formulation mathématique unique, unificatrice et satisfaisante de la théorie.
Von Neumann, en 1926, s'attaque à l'axiomatisation de la mécanique quantique et réalise rapidement qu'un système quantique peut être considéré comme un point dans un espace de Hilbert analogue de dimension 6N (où N est le nombre de particules, 3 coordonnées spatiales et 3 coordonnées canoniques). Les quantités physiques traditionnelles (position et énergie) peuvent être remplacés par des opérateurs linéaires dans ces espaces.
La physique quantique est désormais réductible aux mathématiques des opérateurs hermitiens linéaires dans un espace de Hilbert.
Par exemple, le fameux principe d'incertitude de Heisenberg selon lequel on ne peut déterminer à la fois la position et la vitesse d'une particule équivaut à la non-commutativité des deux opérateurs correspondants.
Cette formulation mathématique réconcilie Heisenberg et Schrödinger et von Neuman publie en 1932 son classique Les Fondements mathématiques de la mécanique quantique (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik).
Si cette axiomatisation plaît énormément aux mathématiciens pour son élégance, les physiciens lui préfèrent celle de Paul Dirac, publiée en 1930 et qui s'appuie sur une étrange fonction, la fonction δ de Dirac (laquelle est en fait une distribution, au sens que formalisera Laurent Schwartz quelques années plus tard). Cette théorie sera durement critiquée par von Neumann.
Dernière modification par Nicophil ; 29/01/2014 à 01h45.
La réalité, c'est ce qui reste quand on cesse de croire à la matrice logicielle.
Etant un peu lent, je vais m'arrêter au cas classique...
Une interprétation de C(X), en se limitant aux réels positifs et aux fonctions d'intégrale finie, est que ses rais représentent l'ensemble des mélanges statistiques, la valeur f(x)/intégrale représentant la proportion de l'état x dans le mélange.
La linéarité a un sens physique clair: un mélange pondéré de mélanges est encore un mélange, et les proportions sont bien ce qu'on attend.
La limitation aux fonctions continues exclut les états purs, mais le passage au complété permettra de les récupérer.
On peut aisément comprendre que "tout savoir sur C(X)" donne au moins autant d'information que "tout savoir sur X", et donc qu'on peut se passer d'une certaine manière de X.
On peut même comprendre la notion d'évolution temporelle comme un opérateur linéaire C(X)->C(X), l'équivalent d'une matrice de transition (à une normalisation près).
Et le résultat (du moins l'espérance mathématique sur le mélange) d'une mesure sera bien une forme sur C(X). (La forme contient tous les résultats de mesure sur X, et donc est d'une totale généralité! Notons au passage la mesure "proportion de l'état pur x" qui est le dirac sur x.)
Maintenant, cette voie (cette interprétation physique de C(X)) semble une impasse pour un passage vers le cas quantique. Deux problèmes au moins:
1) Comment pourrait-on interpréter physiquement la multiplication de deux éléments de C(X), et donc la pertinence physique de la commutativité?
2) Comment justifier l'extension à C?
(Pour le point 1, on remarquera que l'évolution temporelle amène plutôt à la composition (la multiplication) des opérateurs linéaire C(X) -> C(X) ; aucun rapport évident avec la multiplication entre éléments de C(X).)
(Pour le point 2 on pourrait choisir d'interpréter la proportion de x dans le mélange comme |f(x)|² et imposé l'intégrale fini de |f(x)|², mais on perd alors l'interprétation si naturelle de la combinaison linéaire d'éléments de C(X).)
Dernière modification par Amanuensis ; 29/01/2014 à 01h57.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
À me relire, je réalise (trop tard) que j'ai écrit "proportion de l'état x" alors qu'il faudrait parler de "densité en fonction de x" (et pour être propre j'imagine qu'il faille parler de mesure sur X). Cette correction n'a pas d'effet sur le reste du texte.
Dernière modification par Amanuensis ; 29/01/2014 à 02h04.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Juste quelques elements de réponse, je reviens dessus ce soir.
Dejàa je tiens à dire que je ne suis pas exactement une spécialiste du sujet, j'ai appris ca surtout de discussion avec les gens de mon équipe de recherche, donc il est possible que je sois imprécise, voire que je dise des bétises.
Restons dans le cas classique pour le moment. L'extension a C et la prise en compte de la struture algébrique, si je ne vois pas bien d'ou sort sa necessité physiquement, mathematiquement elle est assez claire. C'est le theoreme de Gel'fand qui l'impose.
Pour le dire vite, le theoreme de Gel'fand assure une equivalence de catégorie entre la catégorie des espaces topologiques compacts et celle des C^*-algèbres unitales. C'est donc toute la struture de C^* algèbre qu'il faut retenir (donc la structure complexe et la conjugaison) pour pouvoir s'affranchir de la donnée de l'espace X.
Maintenant le statut physique de la multiplication entre les elements de C(X) et celui des elements d'une algèbre d'operateurs sur L² ne semble pas exactement le meme, c'est vrai. Je reviens la dessus ce soir.
Bonjour,
Tout ce qui tu as écrit est presque parfait dans le sens où il n y a aucune erreur physico-mathématique.
Ce qui ne va pas du tout est que tu attribues a Von Neumann, le rôle de PAM Dirac, qui est curieusement absent de ton exposé. C'est bien Dirac qui a effectué la synthèse entre la mécanique des matrices de Heisenberg et la mécanique ondulatoire de Heisenberg et non Von Neumann. Cette synthèse est apparue dans un livre publié en 1930 sous le titre: The principles of Quantum Mechanics. La MQ enseignée aujourd’hui et pratiquée dans les milieux de recherches dérivent de la synthèse de Dirac. En France le livre de Dirac a été décliné et actualisé par Messiah en 1965 a partir d'un cours donné au CEA dont Cohen-Tannoudji était un des élèves. Ce dernier a lui-même publié en 1973 un livre intitulé: Mécanique quantique......
Le travail de Von Neumann est un travail de mathématicien sur le travail d'un physicien théoricien. Il ne pas confondre les 2 métiers qui ont des problématiques différentes, bien qu'utilisant le même langage symbolique.
Remarque: Von Neumann parle très justement d'heuristiques, ce qui est parfaitement juste et pourtant largement ignorer de l'église (l'université en général). En effet il n y a pas de particules, d'ondes et de fonctions d'onde, de probabilités de présence, de trajectoires, de chemins.......On imagine facilement ce que devient la vulgarisation par l'entremise des médias et de toutes les contre-façons.
