Fractions continues

[invite5078a2fa]

Bonjour,

je suis en licence informatique, et j'ai un sujet mathématique que je devrais maîtriser d'ici mi Mars, et je sais pas trop d’où commencer.
ce que je devrais faire c'est de comprendre le sujet et bien le présenter le jour de ma présentation.

Au fait, on a par exemple un résultat qui est " 0,783369803" qu'on a eu après avoir fait une division entre deux nombres entiers de 3 chiffres, est ce qu'on peut trouver les deux nombres que l'on a divisé au départ uniquement à travers ce résultat ? Si oui, ce qui est surement le cas, comment on fait pour les trouvés.

j’espère que vous aurez des idées à partager avec moi, Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180 au chapitre II.8.6, vous trouverez la méthode.

[sylvainc2]

Si vous ne retrouvez pas l'explication dans le lien de Médiat:

On utilise l'algo d'Euclide pour calculer pgcd(a,b) où a = 783369803 et b = 1000000000 comme ceci:



Les colonnes a,b,q,r de chaque ligne i sont calculées comme dans l'algo d'Euclide de base, à partir de la ligne i=3:



et à partir de la ligne 4:



Les colonnes y et x sont calculées comme ceci à partir de la ligne 3:



La fraction s'appelle une réduite de 783369803 / 1000000000, c'est la meilleure approximation rationnelle de cette fraction avec un dénominateur <= .

La dernière colonne est la différence entre 783369803 / 1000000000 et la réduite de chaque ligne. On voit que cette différence diminue (en valeur absolue) jusqu'à la dernière ligne où la réduite est exacte.
Si on se limite à un dénominateur de 3 chiffres, alors on prend 358 / 457, c'est la meilleure approximation avec un dénominateur <= 457.

Mais il pourrait y avoir une autre fraction entre 358 / 457 et la réduite suivante qui est 27012579 / 34482538, donc avec un dénominateur de 458 à 999, qui donne une meilleure approximation que 358 / 457. Pour la calculer on regarde la fraction continue de 27012579 / 34482538, c'est la suite des quotients q jusqu'à la ligne de cette réduite, on note:

[ 0; 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 75454 ] = 27012579 / 34482538

On prend le dernier quotient qui 75454, et on prend l'entier >= à sa moitié, soit

on remplace le dernier quotient et on calcule la fraction continue correspondante, car c'est la première qui a une chance d'être une meilleure approximation que 358 / 457:

[ 0; 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 37727 ] = 13506313 / 17241299

Mais comme le dénominateur a plus que 3 chiffres, on est certain qu'il n'y a pas d'autre fraction entre 358/457 et z/999 qui donne une meilleure approximation.

Donc la réponse à la question est bien 358/457.

[sylvainc2]

Il y a une petite erreur dans l'initialisation des colonnes y et x du tableau, les deux premières lignes devraient être:
0 1
1 0

au lieu de
1 0
0 1

pour que le calcul des y et x de chaque ligne se fasse correctement.

[A voir en vidéo sur Futura]