DL des fonctions composés

[invitedbd63b3e]

Bonjour,
Je veux savoir comment mon prof a sauter de cette etape (our calculer le DL de exp(sinx) au voisinage de 0 a l'ordre 4):
exp(sinx)=1+sin(x)+(sin^2(x))/2+(sin^3(x))/6+(sin^4(x))/24+0(x^4)

vers cette étape:

exp(sinx)=1+ x - (x^3)/6 + 0(x^4)+ 1/2[x-(x^3)/6 + 0(x^3)]^2 + 1/6[x+0(x^2)]^3+ 1/24[x+0(x)]^4 + 0(x^4)
Autrement dit pourquoi en remplace (x-(x^3)/6 par x dans le quatrième et cinquième terme?
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[gg0]

Parce que ça suffit, car à cause des puissances, les termes supplémentaires sont des o(x^4), donc inutile de les écrire. Mais pour bien comprendre, rajoute-les dans le calcul, puis développe ...

Cordialement.

[invitedbd63b3e]

Bonsoir,
J'ai développé le terme 1/6[(x-x^3+0(x))^3 ] et je me suis rendu compte qu'on a pas besoin des autres puissances comme vous l’avez dit mais pourquoi on
l’écrit : 1/6(x+0(x^2)) mais pas 1/6(x+0(x)) ?
Merci

[gg0]

Avec un o(x) on obtiendra un o(x^3) en développant. Or on veut l'ordre 4.

Là aussi, faire toi-même le calcul t'aurait permis de comprendre tout seul.

[A voir en vidéo sur Futura]