Bonsoir,
Je n'arrive pas à montrer qu'un endomorphisme est un automorphisme.
Par définition, un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
On est en dimension finie, donc il suffit de montrer au choix que f est injective ou f est surjective.
Voici l'énoncé :
On pose E =
f est un endomorphisme de E vérifiant :
et pour entier naturel
J'ai montrer qu'il exister un vecteurde
tel que
J'ai pu montrer que la familleest une base de E
Il faut montrer que Id-f est un automorphisme, et déterminer sa bijection réciproque.
Pour ce faire, voici mon raisonnement :
Montrons que Id-f est surjective, donc montrons que
Dans ce cas, montrons que
D'où la nécessité de trouver une base de
C'est là que je munitde sa base canonique
Et je me donne un vecteurde
, que j'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la base :
d'où :
en factorisant par les scalaires, il vient que
est génératrice de
mais je n'arrive pas à montrer la liberté de cette famille, je ne sais rien deet ça me bloque
Déjà est-ce le bon raisonnement ?
Quelqu'un aurait des indications ?
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