espace vectoriel de dimension finie

[invite9fc95180]

E un K - e.v de dimension n finie et f un endomorphisme de E !! on doit montrer que Im(f)=Im (f²) ssi Im(f) + ker(f) =E en somme directe ssi Ker(f)=ker(f²) !!

mais on a toujours Im(f) + ker (f) = E en somme directe ! c'est le theoreme du rang ! n'est ce pas ? est ce que je dois le montrer ou quoi ?
si j'ai la premiére equivalence je pense que je peux faire la deuxiéme equivalence puisque Im(f)+Ker(f)=E et Im(f²) + Ker(f²)=E et Im(f)=Im(f²) donc dim Ker(f) = dim Ker(f²) et je peux simplement montrer une inclusion entre Ker(f) et Ker(f²) d'ou l'égalité ...
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[inviteea028771]

mais on a toujours Im(f) + ker (f) = E en somme directe ! c'est le theoreme du rang ! n'est ce pas ?

Non, ça n'est pas le théorème du rang (qui lui parle de la dimension de Im(f) et Ker(f)).

Un contre exemple, l'application linéaire de R² dans R² telle que f((x,y)) = (y,0) (dans la base canonique)

Alors Im(f) = Ker(f) = vect{ (1,0) }

Et donc, bien évidement, Im(f)+Ker(f) n'est pas égal à R²

[invite9fc95180]

j'ai compris ! donc tout mon raisonnement est faux

[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Im(f²)=Im (fof) est inclue dans Im(f).
Ou dit autrment : l'image de f contient l'image de fof.
Il n'y a pas d'hypothèses à avoir si ce n'est E de dimension finie, et f une application linéaire de E dans E.
Il faut donc utiliser l'hypothèse de l'exercice pour prouver lm(fof) inclue dans Im(f).


De meme,
ker(f) est inclu dans Ker(fof)=ker(f²)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6e91e1c]

Pour montrer ce type d'inclusion, il faut en general passer par les elements.

Pour montrer rien de plus simple.

Soit , alors et .

Et donc

De la dernière relation, on voit que .

Donc en repassant aux ensemble,