Les normes dans Rn

[inviteea066bf7]

bonjour j'ai besoin de votre aide pour demontrer ce resultat :
pour 1≤p≺∞ et x = (x₁, x₂, ..., x_d) ∈Rd montrer que la norme infini et les normes p sont equivalentes
.pour 1≤p et q≤ + ∞ quelles sont les meilleures constantes c et C tel que c || x || _p≤ || x || _q≤C || x || _p pour tout x ∈Rⁿ
en effet j'ai pu montrer que la norme infini et les normes p sont equivalentes mais je ne sait pas comment repondre a la suite de la question .pouvez vous m'aider s'il vous plait merci en avance
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[gg0]

Bonjour.

Si tu remplaces x par kx, ça ne change rien à tes inégalités. Donc tu peux supposer x de norme 1 pour une des deux normes.

Cordialement.

[inviteea066bf7]

bonjour voici ma reponse pour la suite:
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous obtenons pour tous x∈Rn
Rappelons l'inégalité de Hölder
∑_i=1ⁿ|a_i||b_i|≤(∑_i=1ⁿ|a_i|^r)^1/r(∑_i=1ⁿ|b_i|^r/(r−1))^1−1/r
Appliquez-le au cas | a_i | = | x_i | ^p, | b_i | = 1 et r = q / p> 1
on obtient
∥x∥_p=(∑_i=1ⁿ|x_i|^p)^1/p≤n^1/p−1/q∥x∥_q
d'autre part
Si x = 0, alors s'est évidemment vrai que ∥x∥p≥∥x∥q. Sinon on pose y_k = | x_k | / ∥x∥_q. on a y_k≤1 pour tout k = 1, ..., n. Par conséquent y^p_k≥y^q_k, et donc ∥y∥_p≥1 ce qui donne ∥x∥_p≥∥x∥_q
par suite on a c=1 et
C = n^{1 / p-1 / q} mais je ne peut pas montrer que c et C sont les meilleures constantes possible .pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci