Normes dans les espaces L_p

[FAN FAN]

Bonjour,

Voici ma question:

Soit (Omega, F, m) un espace mesuré avec m mesure finie
Je considère une fonction X mesurable X : (Omega, F) -> (R, B(R))
Par hypothèse X appartient à L^q

Alors, je sais que si p< q, X appartient aussi à L^p car L^q est contenu dans L^p

Question: a-t-on alors ||X||_q < ou = ||X||_p ?

Merci pour réponses.
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[invite88856472]

Bonjour fan fan,

comment démontres-tu que L^q C L^p ?
La preuve (celle qui est donnée, à ma connaissance, dans presque tout cours sur ce sujet au niveau L3) te donnera un élément de réponse.

Cordialement,

idest.

[FAN FAN]

Bonjour fan fan,

comment démontres-tu que L^q C L^p ?
La preuve (celle qui est donnée, à ma connaissance, dans presque tout cours sur ce sujet au niveau L3) te donnera un élément de réponse.

Cordialement,

idest.

Ma question n'est pas L^q C L^p pour q > p qui est un théorème connu, mais ma question est: la proposition suivante est-elle vraie pour toute fonction X appartenant à L^q (donc aussi à L^p) :
q > p => ||X||_q > ou = ||X||_p
En d'autre termes, l'ordre sur l'appartenance (L^q C L^p) entraîne-t-il l'ordre sur les normes des fonctions (||X||_q > ||X||_p) ?
Cela me semble vrai, mais pas évident...
Exemple:
q > p, X C L^q donc aussi X C L^p
Peut-on avoir, par exemple ||X||_q = 1 et ||X|_p = 2 ?

[FAN FAN]

Ma question n'est pas L^q C L^p pour q > p qui est un théorème connu, mais ma question est: la proposition suivante est-elle vraie pour toute fonction X appartenant à L^q (donc aussi à L^p) :
q > p => ||X||_q > ou = ||X||_p
En d'autre termes, l'ordre sur l'appartenance (L^q C L^p) entraîne-t-il l'ordre sur les normes des fonctions (||X||_q > ||X||_p) ?
Cela me semble vrai, mais pas évident...
Exemple:
q > p, X C L^q donc aussi X C L^p
Peut-on avoir, par exemple ||X||_q = 1 et ||X|_p = 2 ?

En fait, je crois que ma proposition n'est vraie que si la mesure m est une probabilité c'est à dire m(omega) = 1, c'est à dire encore que la fonction X doit être une variable aléatoire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Salut,

FAN FAN, ce que dis idest, c'est que la démonstration du théorème (vrai pour une mesure finie si je ne m'abuse) te donnera la réponse à ta question. Plus précisément, tu obtiendra une relation de la forme où k est une constante (ou quelquechose comme ça)

Pour mémoire, la démo du théorème utilise l'inégalité d'Holder

Cordialement

[FAN FAN]

Salut,

FAN FAN, ce que dis idest, c'est que la démonstration du théorème (vrai pour une mesure finie si je ne m'abuse) te donnera la réponse à ta question. Plus précisément, tu obtiendra une relation de la forme où k est une constante (ou quelquechose comme ça)

Pour mémoire, la démo du théorème utilise l'inégalité d'Holder

Cordialement

Oui, tu as raison : je viens de faire quelques recherches et j'ai la réponse complète dans le cours sur l'intégration de Herbin (disponible en ligne, mais j'ai perdu le lien) :

m fini et q > p => m(omega)^{1/p - 1/q} . ||X||_q > ou = ||X||_p.
Ta constante k est donc égale à m(omega)^{1/p - 1/q}