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Normes dans les espaces L_p



  1. #1
    FAN FAN

    Normes dans les espaces L_p


    ------

    Bonjour,

    Voici ma question:

    Soit (Omega, F, m) un espace mesuré avec m mesure finie
    Je considère une fonction X mesurable X : (Omega, F) -> (R, B(R))
    Par hypothèse X appartient à Lq

    Alors, je sais que si p< q, X appartient aussi à Lp car Lq est contenu dans Lp

    Question: a-t-on alors ||X||q < ou = ||X||p ?

    Merci pour réponses.

    -----

  2. #2
    idest

    Re : Normes dans les espaces L_p

    Bonjour fan fan,

    comment démontres-tu que L^q C L^p ?
    La preuve (celle qui est donnée, à ma connaissance, dans presque tout cours sur ce sujet au niveau L3) te donnera un élément de réponse.

    Cordialement,

    idest.

  3. #3
    FAN FAN

    Re : Normes dans les espaces L_p

    Citation Envoyé par idest Voir le message
    Bonjour fan fan,

    comment démontres-tu que Lq C Lp ?
    La preuve (celle qui est donnée, à ma connaissance, dans presque tout cours sur ce sujet au niveau L3) te donnera un élément de réponse.

    Cordialement,

    idest.
    Ma question n'est pas Lq C Lp pour q > p qui est un théorème connu, mais ma question est: la proposition suivante est-elle vraie pour toute fonction X appartenant à Lq (donc aussi à Lp) :
    q > p => ||X||q > ou = ||X||p
    En d'autre termes, l'ordre sur l'appartenance (Lq C Lp) entraîne-t-il l'ordre sur les normes des fonctions (||X||q > ||X||p) ?
    Cela me semble vrai, mais pas évident...
    Exemple:
    q > p, X C Lq donc aussi X C Lp
    Peut-on avoir, par exemple ||X||q = 1 et ||X|p = 2 ?

  4. #4
    FAN FAN

    Re : Normes dans les espaces L_p

    Citation Envoyé par FAN FAN Voir le message
    Ma question n'est pas Lq C Lp pour q > p qui est un théorème connu, mais ma question est: la proposition suivante est-elle vraie pour toute fonction X appartenant à Lq (donc aussi à Lp) :
    q > p => ||X||q > ou = ||X||p
    En d'autre termes, l'ordre sur l'appartenance (Lq C Lp) entraîne-t-il l'ordre sur les normes des fonctions (||X||q > ||X||p) ?
    Cela me semble vrai, mais pas évident...
    Exemple:
    q > p, X C Lq donc aussi X C Lp
    Peut-on avoir, par exemple ||X||q = 1 et ||X|p = 2 ?
    En fait, je crois que ma proposition n'est vraie que si la mesure m est une probabilité c'est à dire m(omega) = 1, c'est à dire encore que la fonction X doit être une variable aléatoire.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    taladris

    Re : Normes dans les espaces L_p

    Salut,

    FAN FAN, ce que dis idest, c'est que la démonstration du théorème (vrai pour une mesure finie si je ne m'abuse) te donnera la réponse à ta question. Plus précisément, tu obtiendra une relation de la forme où k est une constante (ou quelquechose comme ça)

    Pour mémoire, la démo du théorème utilise l'inégalité d'Holder

    Cordialement

  7. #6
    FAN FAN

    Re : Normes dans les espaces L_p

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Salut,

    FAN FAN, ce que dis idest, c'est que la démonstration du théorème (vrai pour une mesure finie si je ne m'abuse) te donnera la réponse à ta question. Plus précisément, tu obtiendra une relation de la forme où k est une constante (ou quelquechose comme ça)

    Pour mémoire, la démo du théorème utilise l'inégalité d'Holder

    Cordialement
    Oui, tu as raison : je viens de faire quelques recherches et j'ai la réponse complète dans le cours sur l'intégration de Herbin (disponible en ligne, mais j'ai perdu le lien) :

    m fini et q > p => m(omega)1/p - 1/q . ||X||q > ou = ||X||p.
    Ta constante k est donc égale à m(omega)1/p - 1/q

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