Résidus

[mc222]

Bonjour,

J'aimerais résoudre l'intégrale suivante par le théorème des résidus :



J'explicite donc les pôles et propose la fonction analytique suivante :



On a donc deux pôles simple, en et .

Si je prend comme contours le demi cercle supérieur, comprenant l'axe des réels et si par ailleurs, je fais tendre le rayon de ce demi cercle vers l'infini, j'obtiens :



Cette expression m'étonne beaucoup du fait que tend très vite vers l'infini en fonction de .
Cette expression est-elle la bonne ?

Merci d'avance !
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[Universus]

Il s'agit du bon résidu, mais ce n'est pas de la valeur de .

Notons que , donc décroissante en . Cela suggère l'erreur : l'intégrale de le long du demi-cercle ne tend pas vers 0, bien au contraire.

Nous pouvons le constater directement : pour , nous avons . Or, pour , , donc l'intégrale de le long du segment explose quand .

[mc222]

A voila la réponse que j'attendais !

Je savais qu'il y avait une boulette quelque part...

Du coup il faudrait changer de fonction analytique ou de contours sauf que les pole sont justement dans les "angles interdits".

Je ne vois pas du tout comment faire, des suggestions ?

Merci beaucoup!

[Universus]

Il n'y a pas moyen de changer de fonction analytique, puisqu'une fonction analytique est déterminée par ses valeurs sur un sous-ensemble non discret de son domaine (par exemple, l'axe réel).

Puisque vous avez écrit que vous aimeriez résoudre cette intégrale via une intégrale de contour, j'imagine que vous êtes ouvert à des alternatives. Je n'ai pas vérifié en détail cette démarche, mais j'ai l'impression que d'utiliser la transformée de Fourier aide :

,

avec calculé à l'aide des règles 206 et 207 de cette page. Cela devrait donner lieu à quelque chose du genre (j'omets bien des facteurs en ).

(via la règle 301) .

C'est à voir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Bonjour,

Bien vu la transformée de Fourier.

J'ai calculé la transformée de Fourier de et faisant le produit de convolution de avec .

Ensuite :



Je trouve donc finalement :



Ce qui me plait bien d'avantage,

Qu'en pensez vous ?

[Universus]

Je suis heureux que vous ayez évité les détours que je prenais et que vous ayez corrigé mon omission du produit de convolution. J'obtiens la même réponse, à ceci près que la règle 206 donne , de sorte que la réponse devient .

[mc222]

Ah ! Pas exactement finalement.

Dans ma définition symétrique de la transformée de Fourier, il y a également un facteur qui intervient lors du produit de convolution.
On arrive donc à :



Je m'en suis rendu compte en calculant :



Ainsi, on retrouve bien l'intégrale de Gauss :

Je suis donc convaincu qu'il s'agit de la bonne réponse !

Merci à toi Universus !