(ECE) Sous espace vectoriel

[invite1c22357a]

Bonsoir tout le monde, je viens pour la première fois faire un post.
J'ai un problème avec un exercice portant sur les vecteurs, chapitre qu'on vient tout juste de commencer.

L'énoncé de l'exercice:

Soit E=(x+y, x-y, 2x+3y) , x apparient à R et y appartient à R}. Montrer que (E,+,.) est un espace vectoriel.

Après avoir lu et relu mon cours, je ne vois pas trop comment faire....

Le vecteur E est sensé être stable, et donc la somme des réels et coef dans le vecteur doivent être égale à 0. De plus, E ne peut pas être un vide.

En bref, j'aimerais comprendre comment on pourrait répondre à cette exercice, et donc me donner des pistes à la résolution !
Merci.
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu peux par exemple montrer que est un sous-espace vectoriel de


Autre façon de répondre, tu peux remarquer que avec la conclusion qui suit.


Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Il faudrait déjà que tu commences par relire soigneusement ton cours pour apprendre le vocabulaire. par exemple, E n'est pas un vecteur; à ce niveau, si (E,+,.) est un espace vectoriel, les vecteurs sont les éléments de E. On abrège en disant que les vecteurs sont les éléments de l'espace vectoriel (quand on sait quelles sont les opérations, on se permet d'appeler "espace vectoriel" l'ensemble, sans préciser les opérations.).

ici, pour montrer que (E,+,.), il te suffit de montrer que E est un sous-espace vectoriel de . Donc effectivement, que E est non vide, et stable par + et ;, c'est à dire que quels que soient les éléments x et y de E, x+y est dans E, et quel que soit le réel k et l'élément x de E, k.x est dans E.

Voilà, maintenant que j'ai éclairci la question avec ces rappels de cours, à toi de faire.

Cordialement.

[invite1c22357a]

Très bien, merci ! Du coup, il faut que je fasse un système pour trouver la solution de x et y, pour vérifier que u+v=0 et donc apparient à E ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Désolé, le ne comprends rien à ton u+v=0n ni à "trouver la solution de x et y". Il n'y a aucun rapport avec l'énoncé. Regarde exactement ce que c'est que E, comment sont faits les éléments de E, comment fonctionnent les opérations + et . dans R^3 (ça doit être dans ton cours) et commence à démontrer.

NB : Il fut un temps où c'était un exercice classique des classes de seconde scientifiques et techniques.

[invite1c22357a]

Oui, je raxontais n'importe quoi...

{x(1,1,2)+y(1,-1,3)) avec x et y apparentant a R.
Cela montre que E= a l'ensemble de ces combinaisons lineraires.
Donc E=vect[(1,1,2)(1,-1,3)], cad le sous espace vectoriel engendre par ces combinaisons linéaires.

[PlaneteF]

{x(1,1,2)+y(1,-1,3)) avec x et y apparentant a R.
Cela montre que E= a l'ensemble de ces combinaisons lineraires.
Donc E=vect[(1,1,2)(1,-1,3)], cad le sous espace vectoriel engendre par ces combinaisons linéaires.

Oui, ça c'est en passant par la 2e façon de faire que je proposais dans mon message#2. A noter aussi qu'il est très important que tu saches démontrer que est un ss-ev de en utilisant la caractérisation classique d'un ss-ev (cf. message de gg0 qui explicite tout cela).


Cordialement