exo sous espace vectoriel

[369]

bonsoir
pouvez me corrigez cet exo sur les sous espace vectoriels:
F={(a+b,2a-b,3a+4b,2b),(a,b) appartenant à K²}
montrer que F est un sous espace vectoriel de K⁴

solution:
F inclus dans K⁴
F non vide car 0 appartient à F

Posons x=(a₁+b₁,2a₁-b₁,3a₁+4b₁,2b₁) appartenant à F
y= (a₂+b_2,2a₂-b2,3a₂+4b₂,2b₂)

x+y=(a1+a2+b1+b2,2(a1+a2)-(b1+b2),3(a1+a2)+4(b1+b2), 2(b1+b2))
posons a3=a1+a2 et b3= b1+b2 donc x+y=(a3+b3,2a3- b3,3a3+4b3+2b3)
donc x+y appartient à F


reprenons le x précédent et prenons appartenant à F
montrons que . x appartient à F

.x= (a1+b1,2a1-b1,3a1+4b1,2b1)
=( a1+ b1,2 a1- b1,3 a1+4 b1,2 b1)

posons a4= a1 et b4= b1


donc .x=(a4+b4,2a4-b4,3a4+4b4,2b4)
donc .x appartient à F

de plus j'aurais une question par rapport au début de l'exo lorsque j'ai posé x et y, suis je censé mettre (x,y) appartient à K⁴ ou (x,y) appartient à K². merci de me donner une justification



pour finir je vous remercie pour votre aide
-----

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

tout cela me semble juste.

Pour ta dernière question :

Soit A un ensemble et des éléments des A alors on écrit

Donc ici avec et des éléments du corps K donc chaque coordonnée fait partir du corps K donc x s'écrit avec 4 coordonnées de K donc

Ensuite comme je te l'ai dit plus haut on a donc

RoBeRTo

[369]

d'accord
merci pour ton aide roberto