Sous-espace vectoriel ?

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ;

étant donné :
E=K-espace-vectoriel muni d'une base B , f un endomorphisme de E et H un hyperplan:
peut-on considerer que:


est un sous-espace vectoriel de ?

( je pense pas car l'élément neutre de )

Que dites-vous alors d'un exercice qui considère R comme un sous-espace vectoriel de ?
merci.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

( je pense pas car l'élément neutre de )

Non. Le zéro de l'espace vectoriel est la forme linéaire qui est identiquement nulle . est clairement un élément de et .

Pour montrer que est un sous-espace vectoriel de il suffit de vérifier que

1. contient le zéro de ;
2. la somme de deux formes linéaires s'annulant sur est une forme linéaire s'annulant sur ;
3. le produit d'une constante et d'une forme linéaire s'annulant sur est une forme linéaire s'annulant sur .

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ;

étant donné :
E=K-espace-vectoriel muni d'une base B , f un endomorphisme de E et H un hyperplan:
peut-on considerer que:


est un sous-espace vectoriel de ?

( je pense pas car l'élément neutre de )

.

Oui, vous avez raison .

en effet , ce n'est pas le même ensemble que



J'ai peut-être melanger entre les deux mais non plus maintenant.



en tout cas, je suis censé de calculer la dimension de ce sous-espace-vectoriel R:



j'ai déjà cassé ma tête pas mal de fois avant de consulter une indication aussi bizarre :

Si alors la valeur de détermine un élément de .cela permet de même en place un isomorphisme entre et le corps .la dimension cherché vaut 1.

sincèrement, je ne sais plus comment faire face à des questions qui me semblent , personnellement , difficile à résoudre.

pouvez-vous m'expliquer cet indication ( cet esprit de répondre ) et si c'est possible , de me donner les étapes d'un autre élément de réponse que je ferai moi même ( sincèrement je veux m'habituer à se débrouiller de tel situation mais je sais pas comment faire )

merci.

[Flyingsquirrel]

Si alors la valeur de détermine un élément de .cela permet de même en place un isomorphisme entre et le corps .la dimension cherché vaut 1.

La clé est que est un hyperplan de , c'est à dire un sous-espace vectoriel de dimension . Est-ce que cela te permet de comprendre l'indication ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f6f1e2d]

La clé est que est un hyperplan de , c'est à dire un sous-espace vectoriel de dimension . Est-ce que cela te permet de comprendre l'indication ?

un peu d'explication S.V.P
et surtout cette histoire dèisomorphisme

merci

[Flyingsquirrel]

OK.

Posons et prenons une base de que l'on complète avec un vecteur en une base de . Toute forme linéaire sur est uniquement déterminée par la donnée des réels (). En particulier, tout élément est uniquement déterminé par la donnée du réel (puisque l'on sait que ).

En posant, comme le suggère l'indication, on définit une application de dans . D'après ce que je viens de dire elle est injective et surjective, donc bijective. Pour montrer que est bien un isomorphisme d'espaces vectoriels il suffit de vérifier qu'elle est linéaire, ce qui est très facile.

[invite0f6f1e2d]

merci our vos pistes, vraiment ça m'aident beaucoup à trouver la solution.
en effet,pour tout , peut s'écrire:

avec : et corps
d'où pour tout dans on aura:

alors est engendré par d'où la dimension de est 1 .
comme vous avez remarqué, j'ai évité d'employer cette histoire d'isomorphisme qui reste un peu floue.
pour ce qui concerne

OK.

Posons et prenons une base de que l'on complète avec un vecteur en une base de . Toute forme linéaire sur est uniquement déterminée par la donnée des réels (). En particulier, tout élément est uniquement déterminé par la donnée du réel (puisque l'on sait que ).

c'est à 100% assimiler mais pour

En posant, comme le suggère l'indication, on définit une application de dans . D'après ce que je viens de dire elle est injective et surjective, donc bijective. Pour montrer que est bien un isomorphisme d'espaces vectoriels il suffit de vérifier qu'elle est linéaire, ce qui est très facile.

ça reste flou.je ne sais pas si l'élément de réponse que j'ai déjà dis est à 100% correct ( il me semble que oui), cependant , je veux maitriser cette histoire d'isomorphisme et je veux savoir:
1-comment vous avez conclut que cet isomorphisme existe just après avoir montrer que est seulement peut être determiné par ?
2-comment vous avez conclut de ce que vous avez dit que l'application est injective et surjective sans avoir calculé son ker et image ?
3-je veux savoir enfin, comment peut-on deviner que l'isomorphisme est vers et non pas vers ou ...?


je souhaite que ce n'est pas trop démandé.
merci

[Flyingsquirrel]

en effet,pour tout , peut s'écrire:
avec : et corps d'où pour tout dans on aura:
alors est engendré par d'où la dimension de est 1 .

Pourquoi interdire à de prendre la valeur 0 ?

Je pense que l'on pourrait rendre ta démonstration plus rigoureuse en exhibant une base de .

1-comment vous avez conclut que cet isomorphisme existe just après avoir montrer que est seulement peut être determiné par
?

Je ne comprends pas ce que tu entends par « existe ». J'ai le droit de définir comme je l'ai fait, non ?

2-comment vous avez conclut de ce que vous avez dit que l'application est injective et surjective sans avoir calculé son ker et
image ?

est injective car tout élément de est uniquement déterminé par la donnée de : deux éléments de qui prennent la même valeur en prennent les même valeurs sur tous les vecteurs de la base et donc ils sont identiques. Plus précisément, si sont tels que alors pour tout vecteur de , on a

et

donc . (on pourrait aussi montrer que , c'est même plus rapide, mais dans ce cas il faut d'abord prouver que est linéaire)

Pour la surjectivité, c'est évident, puisque si , la forme linéaire définie par et est un élément de qui vérifie .

3-je veux savoir enfin, comment peut-on deviner que l'isomorphisme est vers et non pas vers ou ...?

est une forme linéaire sur : c'est, par définition, une application à valeurs dans , par conséquent et donc est une application à valeurs dans .