Produit d'espaces topologiques à bases dénombrables

[invite0a45097e]

Bonjour à tous.
Je rencontre un petit souci dans une démonstration qui consiste à montrer que le produit d'espaces topologiques à base dénombrable est lui même à base dénombrable.
On pose alors une famille d'espaces topologiques (E_n, T_n) n dans IN et on prend le produit de ces ensembles et la topologie produite associée. Alors il suffit de montrer que l'ensemble des rectangles élémentaires est dénombrable étant donné qu'il est une base de topologie qui engendre la topologie produit.
Alors je considère l'ensemble A des R' = Prod(E_n), n décrivant IN et avec E_n = O_n pour n de I, I fini. A partir de là on voit qu'il existe une bijection naturelle entre A et l'ensemble P des parties finies de IN qui est dénombrable ce qui montre que A est dénombrable.
Néanmoins dans le livre que j'étudie, il est dit que, puisque tout rectangle élémentaire s'écrit comme la réunion d'éléments de A, cela implique que la topologie produit est à base dénombrable... et c'est là que je coince.
En effet, ce n'est pas parce tout élément d'un ensemble C s'écrit comme la réunion d'un sous ensemble C' qui est lui est dénombrable que C est dénombrable. Par ex. on a la topologie usuelle sur IR, ensemble non dénombrable, qui est engendrée par l'ensemble dénombrable des intervalles ouverts à extrémités rationnelles.
Ai je raison ?
Bonne journée.
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[Médiat]

Bonjour,

Je rencontre un petit souci dans une démonstration qui consiste à montrer que le produit d'espaces topologiques à base dénombrable est lui même à base dénombrable.

Attention : le produit dénombrable d'espaces topologiques à base dénombrable est lui même à base dénombrable

Alors je considère l'ensemble A des R' = Prod(E_n), n décrivant IN et avec E_n = O_n pour n de I, I fini.

C'est quoi Prod(E_n) ? Si c'est le produit des E_n pour tout n entier, alors, il n'y en a qu'un ; et O_n, c'est quoi ?

En effet, ce n'est pas parce tout élément d'un ensemble C s'écrit comme la réunion d'un sous ensemble C' qui est lui est dénombrable que C est dénombrable. Par ex. on a la topologie usuelle sur IR, ensemble non dénombrable, qui est engendrée par l'ensemble dénombrable des intervalles ouverts à extrémités rationnelles.

Ceci est correct, mais je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui précède (puisque je ne connais pas vos notations).

[invite0a45097e]

Désolé pour le manque de concision dans les notations.
Prod(E_n) est le produit cartésien des E_n. Et O_n est un élément de la base de topologie qui engendre T_n.

[invite0a45097e]

Attention : le produit dénombrable d'espaces topologiques à base dénombrable est lui même à base dénombrable

En effet je cherche à démontrer que le produit dénombrable d'espaces topologiques à base dénombrable est dénombrable. C'est un oubli de ma part.

C'est quoi Prod(E_n) ? Si c'est le produit des E_n pour tout n entier, alors, il n'y en a qu'un ; et O_n, c'est quoi ?

O[SUB}n[/SUB] est un élément de la base de topologie qui engendre T_n.

Ceci est correct, mais je n'arrive pas à faire le lien avec ce qui précède (puisque je ne connais pas vos notations).

Désolé pour le manque de concision dans les notations.

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