Automorphisme

[invite625b63d0]

Bonjour,

Je souhaite montrer que l'application f est un automorphisme de R^3 :

V(x,y,z)€R^3 , f(x,y,z) = (2y + z , x + z , -x + y + z)

A vrai dire, l'endomorphisme est évident, même pour l'application linéaire, je bloque surtout sur la bijection.

J'ai lu qu'il fallait chercher le noyaux et l'image, dans ce cas le noyau est (0,0,0) donc f est injective (?) mais pour l'image je trouve une relation assez étrange TQ :

F(x,y,z) = (a, b, c) € R^3

x = (b + a -2c) /3
y = (2a - b - c)/3
z = (-a + 2b +2c)/3

Donc la on a bien l'unicité (du moins je crois et encore si cela est bon bien entendu), si on laisse de côté la réciproque, est-ce que je viens de montrer que f est surjective et donc bijective ?

Cordialement YuuX
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[invite9dc7b526]

Tu peux faire comme ça mais en dimension finie on montre que f est injective si et seulement si elle est surjective, donc tu n'as à prouver qu'une des deux propriétés.

[invite625b63d0]

Ah je ne savais pas cela, mais pour ce que j'ai fais, cela suffit a montrer la bijection de la fonction ?

[invite9dc7b526]

Tu as écrit l'inverse de f, tu as donc fait plus que ce qu'on te demandait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite625b63d0]

En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)

[Médiat]

Tu peux faire comme ça mais en dimension finie on montre que f est injective si et seulement si elle est surjective, donc tu n'as à prouver qu'une des deux propriétés.

Une petite précision indispensable : pour un endomorphisme, ou plus généralement si les dimensions de départ et d'arrivée sont identiques.

[invite625b63d0]

D'accord merci bien !

[PlaneteF]

Bonjour,

En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)

D'une manière générale, pour une application :

est injective est inversible à gauche.

est surjective est inversible à droite <sup>(*)


(*)</sup> A noter que le sens est équivalent à l'axiome du choix.


Cordialement

[invite9dc7b526]

En écrivant l'inverse de f j'ai montré le fait qu'elle était subrjective non ? étant donné qu'il y a unicité des antécédents (?)

la surjectivité c'est l'existence d'un antécédent de tout élément. L'unicité c'est l'injectivité.

[invite625b63d0]

Et donc chercher les images de f nous permet de montrer la surjectivité de la fonction f ?
Et le noyau ?

Cordialement

[PlaneteF]

D'une manière générale, pour :

Et donc chercher les images de f nous permet de montrer la surjectivité de la fonction f ?

surjective

Et le noyau ?

injective


Cdt

[invite625b63d0]

D'accord !!!

Et donc si on a un endomorphisme, montrer que f est surjective revient à montrer que Imf = E soit que toutes les images de f qui sont dans E représentent elles aussi l'ensemble E. Soit plus généralement on peu déterminer toutes les images de f (comme ce que j'ai fais) et montrer que ces images là représente E (l'ensemble de départ) soit dans mon exemple R ? Mais comment montrer que toutes les valeurs de R sont prises par ces images (car c'est bien la définition de la surjectivité n'est-ce pas ?) ?

[PlaneteF]

Et donc si on a un endomorphisme, montrer que f est surjective revient à montrer que Imf = E soit que toutes les images de f qui sont dans E représentent elles aussi l'ensemble E. Soit plus généralement on peu déterminer toutes les images de f (comme ce que j'ai fais) et montrer que ces images là représente E (l'ensemble de départ) soit dans mon exemple R ? Mais comment montrer que toutes les valeurs de R sont prises par ces images (car c'est bien la définition de la surjectivité n'est-ce pas ?) ?

Montrer que revient à montrer que (l'autre inclusion est évidente).

Et donc c'est bien ce que tu as fait dans ton premier message : Tu as bien pris un élément quelconque de , puis tu as montré qu'il pouvait s'écrire de "quelque chose", donc . D'où l'inclusion.

Cdt

[invite625b63d0]

D'accord merci beaucoup !!

Cordialement !