Noyaux/Image Espace vectoriel

[invite625b63d0]

Bonjour tout le monde,

Je veux résoudre un exercice, mais ne sachant pas la réponse je voulais savoir si je me dirige sur la bonne voie, voici l'exercice :

Déterminer le noyaux et l'image de m'endomorphisme suivant :
P -> X^2 . P'' - 2XP' + 2P de R[x]

- tout d'abord j'ai vérifié que c'était une application linéaire, donc sans difficulté.

- ensuite afin de déterminer le noyau j'ai pose un polynôme quelconque sous la forme :
P = ao + a1.X + ... + an.X^n
Et donc j'ai exprimé sa dérivée et sa dérivée seconde, j'ai remplacé dans l'équation et ajouté =0 (pour le noyau).

-j'ai ensuite posé un système à savoir : 2a0 = 0 ; 2a1 - 2a1 = 0 ; 2a2 - 4a2 + 2a2 = 0 ;
2a3 - 6a3 + 6a3 = 0 ;....; 2an - 2n.an + n(n-1).an = 0

Et donc j'en déduis que ao = 0 ; a1= k ; a2= l ;...; an^2 = 0 => an= 0 (en résolvant le delta pour la dernière équation).

- déjà je ne pense pas forcément avoir bon, et de plus si j'ai bon, comment je peux affirmer que les ai sont tous nuls quand i different de 1 et 2 ?

Cordialement YuuX
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[invite625b63d0]

Pour ce qui est de l'image , j'ai tout d'abord défini un autre polynôme Q identique au premier hormis les coefficients qui sont respectivement b0 , b1 , b2 , ... bn

- j'ai donc cherché les ai tel que :
F(P) = Q (avec la fonction f qui à P associe P -> X^2 . P'' - 2XP' + 2P de R[x] )

- j'en suis donc venu au système suivant (identique au précédent hormis que les 0 sont remplacés par les coefficients de Q):

2ao = bo ; 2a1 -2a1 =b1 ; 2a2 - 4a2 + 2a2 = b2 ; ..... ;

2an - 2n.an + n(n-1).an = bn

- on en déduit donc :
a0= b0/2 ; b1=0 ; b2=o ; an = bn/(n^2 -3n + 2)

J'ai donc calcule le delta au dénominateur de an et j'ai vu qu'il s'annulait uniquement sur 1 et 2 (donc ce que l'on avait trouvé) et donc on en déduit le polynôme Q qui est l'ensemble des polynômes avec les degrés 1 et 2 nuls

Dites moi ce que vous en pensez !

Cordialement YuuX

[gg0]

Bonjour.

Tu n'as pas traité correctement l'équation
2an - 2n.an + n(n-1).an = 0
et d'ailleurs, tu compliques la situation !
A priori, le polynôme nul est dans le noyau (le 0 de l'espace de départ fait toujours partie du noyau, son image est le 0 de l'espace d'arrivée). Donc on peut prendre P non nul et appeler n son degré. De ce fait a_n est non nul. Revenons à ton équation :
2a_n - 2n.a_n + n(n-1).a_n = 0
Il y a bien a_n=0 comme solution (mais c'est exclu), mais ce n'est pas la seule. Et d'ailleurs comme a_n est non nul, on peut simplifier.

Bon travail !

[invite625b63d0]

Tout d'abord merci de votre réponse !

En effet on trouve également 1 et 2 comme solutions mais n ici représente le degré du polynôme P, et on a déjà vu que pour le degré 1 et 2 a1 = k et a2 = l donc ça ne nous avance pas si ? C'est pour ça que j'en ai déduis que tous les ai avec i différent de 1 et 2 doivent être nuls. Je ne sais pas si vous comprenez et surtout si mon raisonnement est juste ..

J'ai fais à peu près le même principe pour les images mais de même je ne sais pas si le résultat est juste

Cordialement et je vous remercie gg0 pour votre activité !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben si,

ça nous avance beaucoup. Ça donne que les éléments non nuls de Ker f sont de degré 1 ou deux. Reste à voir quels polynômes de degré inférieur à 2 sont d'image nulle.

Je ne comprends rien à tes "a1 = k et a2 = l " qui ne disent rien vu qu'on ne sait pas qui sont k et l. Et en tout cas, tu ne finis pas la question.

Cordialement.

[invite625b63d0]

Ah oui pardon ,
Ici k et l sont des constantes appartenant à R . Donc cela montre que Kerf sont les polynômes dont les monômes de degré 1 et 2 sont non nuls non ?

Je ne vois pas ce qui est faux dans ce que j'ai écris ..

[gg0]

Désolé,

mais je ne comprends plus ce que tu as fait. Apparemment, tu fais la suite d'un énoncé dont on ne sait rien, tu nsembles parler de choses déjà faites ("on a déjà vu que ..") et je n'ai vu nulle part de rédaction claire de la question que tu poses.

Donc si tu es satisfait, tant mieux, moi je ne peux pas deviner ce que tu as fait : je n'ai que ce que tu as écrit ici.

Cordialement.

NB : Je n'ai jamais dit que tu avais fait faux !!

[invite625b63d0]

Oui je suis désolé ! J'ai finalement compris ! Merci encore de votre aide !!

Cordialement, merci gg0 encore une fois