Bonjour,
Je souhaiterais savoir svp si mes réponses à l’exercice suivant sont correctes :
On considère le système :
x+2y+ln(1+z)=0
7x+2y+z(1+y)=0
1)Au voisinage de quels points (x,y,z) ce systéme définit-il localement deux fonctions fi1 et fi2 telles que x=fi1(z) et y=fi2(z).
2)Exprimer dx et dy en fonction de dz au voisinage du point (0,0,0)
Mes réponses:
1)
xo=[(z+2)ln(1+z)-2z]/(12-z)
yo=[-7ln(1+z)+z]/(12-z)
zo=z
f1(x,y,z)= x+2y+ln(1+z)=0
f2(x,y,z)= 7x+2y+z(1+y)=0
Ces fonctions sont C^1 sur R^3 et
f1(xo,yo,zo)=0
f2(xo,yo,zo)=0
(@= « d rond »)
Jacobienne de f en (x,y,z)
Dxy F(x,y,z)=
@xf1 @yf1
@xf2 @yf2
Dxy F(xo,yo,zo)=
1 2
7 2+zo
De déterminant :
Dét= (2+zo)-14=zo-12
Pour tout zo différent de -12, Dét différent de 0, Dxy F(xo,yo,zo) est de rang maximal (2) donc le théorème des fonctions implicites affirme que au voisinage de (xo,yo,zo), il existe fi1 et fi2.
2)
1dx +2dy+ 1/(1+z) dz=0
7dx+2dy+(1+y)dz=0
Au voisinage de (0 ,0,0) :
1dx +2dy+ 1/(1+0) dz=0
7dx+2dy+(1+0)dz=0
Soit
1dx +2dy+ 1dz=0
7dx+2dy+1dz=0
Soit
1dx +2dy+ 1dz=0
6dx=0
Soit
dy=-1/2 dz
dx=0
Je vous remercie par avance pour votre aide.
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