Demande de précisions, fonctions de plusieurs variables

[invite971f87bc]

Bonjour,

Je souhaiterais quelques précisions sur les fonctions de plusieurs variables.
Si vous pouviez m'aider à comprendre, je vous remercie par avance.

1) Lorsque l'on me demande de déterminer l'image d'une fonction f(x,y) définie sur un domaine D, que dois je faire exactement.
J'ai par exemple la fonction définie sur , le domaine image est non?
Je ne comprends pas ce que je dois calculer.

2)Quand je dois déterminer la matrice Hessienne d'une fonction définie sur et que l'on me dit d'utiliser le "théorème de Schwarz" si cela est possible, quel est vraiment la question?
Pour moi si la fonction est 2 fois différentiable on peut utiliser Schwarz et donc . Que faire ou montrer d'autre?

3) Enfin dernière question plus précise. On me demande d'étudier la continuité de avec et d'étudier l'existence des dérivées partielles.
Je ne vois pas du tout où se situe le problème de continuité?

Merci encore de votre aide.
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[invited8dd7571]

1. A priori, il n'y pas de raison que ce soit R en entier : peut-être certaines valeurs ne sont-elles jamais atteintes par la fonction (si tu considères (x,y) -> x^2+y^2 par exemple, le domaine image est R+). Mais bon, la, c'est vrai qu'on justifie facilement que l'image de D est bien R tout entier.

2. Il n'y a rien a montrer d'autre : ce théorème permet de n'avoir que 3 termes a calculer dans la matrice hessienne (au lieu de 4).

3. Il n'y a, en effet, pas de problème, f est continue par produit de fonctions continues. L'existence de dérivées partielles est plus intéressante.

[gg0]

En complément :

1) Il ne suffit pas de dire, il faut prouver que le domaine est bien ce que tu annonces.
2) La Hessienne est symétrique dans ce cas.

Cordialement.

[invite971f87bc]

Merci pour vos précisions.
Je vais justifier pour la question 1.
Pour la question 2, la symétrie permet de limiter les calculs.
Pour la question 3, a priori pas de souci de continuité, je regarde les dérivées partielles.

Une dernière précisions, pour déterminer le sens de croissance maximale d'une fonction en un point, j'ai trouvé deux définitions différentes:

• Calcul du gradient
• Calcul du gradient divisé par sa norme

Pourriez vous me dire laquelle est la bonne?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite820993ca]

C'est bien le gradiant qui te donne l'intensité de la pente. Le fait de normalisé sert à te donner un vecteur de longueur 1 qui t'indique la direction de la pente maxi.

[invite971f87bc]

1. A priori, il n'y pas de raison que ce soit R en entier : peut-être certaines valeurs ne sont-elles jamais atteintes par la fonction (si tu considères (x,y) -> x^2+y^2 par exemple, le domaine image est R+). Mais bon, la, c'est vrai qu'on justifie facilement que l'image de D est bien R tout entier.

2. Il n'y a rien a montrer d'autre : ce théorème permet de n'avoir que 3 termes a calculer dans la matrice hessienne (au lieu de 4).

3. Il n'y a, en effet, pas de problème, f est continue par produit de fonctions continues. L'existence de dérivées partielles est plus intéressante.

Pour la question 3, pour la continuité ok. Sauf erreur de ma part |y| n'est pas dérivable en 0, donc la dérivée partielle n'existe pas en( x,0). Est ce bien çà?

[invited8dd7571]

Vous ne pouvez pas dire cela, ce n'est pas parce qu'une fonction u n'est pas dérivable en 0 qu'un produit u*v ne l'est pas non plus...
Dans R par exemple, considérez .

[invite971f87bc]

Je suis définitivement perdue!!!!
La dérivée partielle de par rapport à y n'existe pas en 0, alors comment la dérivée partielle de pourrait exister?
Merci de votre aide, je coule et j'ai plus d'air

[gg0]

Regarde l'exemple de Néluge pour comprendre ce qui s'y passe. par exemple étudie les deux cas suivant que x est positif ou négatif, donc les dérivées à droite et à gauche. Puis étudie de même ta fonction, tu verras ce que donnent les dérivées à droite et à gauche ...

Cordialement.

[invite971f87bc]

Ok j'essaie.

Donc
et

Les dérivées partielles sont donc différentes ce qui prouve qu'elles n'existent pas?

[gg0]

Tu es vraiment sûr que a et -a sont toujours différents ?

[invite971f87bc]

Bonjour ggo,

Non effectivement au point 0 ils ne le sont pas.
Toutefois les dérivées partielles n'existent pas partout, si je prends le point par exemple.
Donc elles n'existent pas sur l'ensemble des points avec , non?

[gg0]

Non, c'est faux !

le sinus s'annule pour d'autres valeurs que 0.

[invite971f87bc]

oui, en , mais qu'essais tu de me faire comprendre? Je suis perdue.
La finalité c'est bien que les dérivées partielles n'existent pas partout non?

[gg0]

Je n'essaie pas de te faire comprendre quoi que ce soit, je rectifie ce que tu écris.
Tu devais bien étudier la différentiabilité, non ? Donc en quelles valeurs il y a différentiabilité et en quelles valeurs il n'y a pas.

Cordialement.

[invite971f87bc]

Je n'étudie pas la différentiabilité mais l'existence des dérivées partielles.
Donc, si j'ai bien compris elles n'existent pas partout, et notamment sur les points de type avec

[gg0]

Toujours pas.

Tu fais vraiment une différence entre "étudier la différentiabilité" et "étudier l''existence des dérivées partielles" ?

Le mieux est de dire où les dérivées partielles existent, et de ne pas oublier quelles sont les valeurs qui annulent la fonction sinus (cours de première). Ou bien de donner très exactement l'ensemble des points où il y a un problème et quel est le problème.

Cordialement.

[invite971f87bc]

Sauf erreur de ma part, l'existence des dérivées partielles ne suffit pas à justifier la différentiabilité. Il est écrit dans mon cours, qu'il est nécessaire qu'elles soient en plus continues pour cela..

Pour en revenir à mes DP et à leur existence, mon problème est en à cause de |y| non?

[gg0]

Pourquoi ?

[invite971f87bc]

Exact, ce n'est pas mais .

Donc mes DP n'existent pas en avec .
C'est correct?

[gg0]

Cette fois-ci, je suis d'accord.

[invite971f87bc]

Merci beaucoup de ton aide précieuse.