Analyse

[red17]

Salut,

J'ai fait des exos sur les développement limités, les études de fonctions etc.
Mais j'ai rencontré une difficulté sur un exercice en particulier.
Voici l'énoncé :

Soit un entier naturel fixé.
Soit l'équation
Montrez qu'il existe exactement deux solutions et à l'équation sur

Pour ce faire, j'ai considéré la fonction
Et j'ai tenté de montrer qu'elle s'annulé exactement deux fois sur ;
Mais j'ai pas réussi, au mieux, j'ai montré qu'elle s'annulé deux fois (donc au moins deux fois sur )

Déjà voici quelques infos :
est continue sur I_n comme produit et somme de fonction fonction sur
est dérivable de dérivée continue, en clair on peut facilement montrer que f voire même

Par les théorèmes généraux de continuité, est majorée et minorée;
De plus elle possède un maximum ou minimum suivant la valeur de n (parité etc.)
On peut le montrer facilement avec le théorème de Rolle.

Ensuite, j'ai calculé sa dérivé :


Mais le problème est qu'étudier le signe de est de suite compliqué, par le calcul.
J'ai essayé mais en vain, j'ai donc chercher à raisonner, mais mise à part les informations que je vous donne, j'ai rien trouvé.
Je n'arrive pas à montrer que est croissante puis décroissante (ou l'inverse selon )

Quelqu'un aurait une idée ? ou une astuce pour l'étude du signe de f'(x) ?



Merci d'avance
Cordialement.
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[Neluge]

Bonjour,

Si cela peut vous aider, (E) est équivalente a :
.
Sur un dessin, on "voit" bien pourquoi le résultat est vrai : sur chaque intervalle , la fonction décroissante coupe exactement deux fois la sinusoide.
Il est facile de justifier qu'il y a une unique solution sur (la différence des fonctions est croissante) et qu'il n'y a pas de solution sur ; il ne reste qu'à montrer qu'il y a une unique solution sur l'intervalle qui reste (c'est moins évident car les deux fonctions sont décroissantes : les variations ne suffisent pas a conclure).