Groupe d'ordre 24 et normalisateur des 3-Sylow

[invite7ec123bc]

Salut

Soit G un groupe d'ordre 24. On suppose qu’aucun sous-groupe de Sylow de G n’est distingué.

1)On a montré que le normalisateur d'un 3-Sylow est d'ordre 6.

2)On considère ensuite l’action par conjugaison de G sur ses 3 -Sylow. Montrer que le noyau de cette action (c’est-à-dire les éléments de G qui normalisent tous les 3-Sylow) est de cardinal au plus 2.

Je ne vois pas comment démarrer pour cette deuxième question. Je parviens juste, sans être sûr, en utilisant les théorèmes de Sylow, à trouver qu'il y a 4 3-Sylow.

Une aide? Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Le noyau de l'action est l'intersection des stabilisateurs de chaque 3-Sylow, c'est-à-dire de leurs normalisateurs. D'un autre côté, dans le normalisateur d'un 3-Sylow, tu as le 3-Sylow en question, mais tu peux également montrer que l'intersection entre deux 3-Sylow distincts est triviale. Finalement, il est possible d'en conclure que le noyau est de cardinal au plus deux.

[invite7ec123bc]

Merci Seirios.