Nombre de p-Sylow dans le groupe symétrique

[bambar]

Bonjour à tous, je sollicite votre concernant les 2 questions d'un exercice:

1) Déterminer le nombre de 3-Sylow dans S₅
2) Déterminer le nombre de 5-Sylow dans S₅

1) Notons n₃ le nombre de 3-Sylow

On sait que |S₅|=5!
alors n₃=1mod3 ET n₃|5.4.2.1
Donc n₃=1

Mon raisonnement est-il juste?

2)
Concernant cette question j'ai la correction, mais la partie du raisonnement rouge m'échappe:

Notons n₅ le nombre de 5-Sylow

alors n₅=1mod5 ET n₅|4.3.2.1
Donc n₅=1 ou 6

Notons m₅ le nombre de 5-Sylow sans A₅

On sait que |A₅|=5!/2

alors m₅=1mod5 ET m₅|4.3
alors m₅=1 ou 6
or dans A₅ il n'y a pas de sous-groupe distingué non trivial.
Donc m₅=6
Et comme A₅ est un sous-groupe de S₅ alors n₅=6

Merci
-----

[Seirios]

1) Notons n₃ le nombre de 3-Sylow

On sait que |S₅|=5!
alors n₃=1mod3 ET n₃|5.4.2.1
Donc n₃=1

Mon raisonnement est-il juste?

Pourquoi avoir écarter le cas ?

On sait que |A₅|=5!/2

alors m₅=1mod5 ET m₅|4.3
alors m₅=1 ou 6
or dans A₅ il n'y a pas de sous-groupe distingué non trivial.
Donc m₅=6

Les n-Sylow d'un groupe sont deux à deux conjugués (résultat du cours certainement), et bien sûr le conjugué d'un n-Sylow est un n-Sylow, donc s'il n'existe qu'un seul n-Sylow, on sait qu'il est distingué. Seulement, est un groupe simple (également un résultat du cours j'imagine), ce qui signifie par définition que ses seuls sous-groupes distingués sont lui-même et le sous-groupe trivial.

[bambar]

Cool, merci de la réponse.

1) Effectivement, j'avais pas vu.
Donc n₃=1 ou 4
Mais alors comment choisir?

Sinon j'ai trouvé qu'il y a 10 3-cycles dans S₅. Ca sert?

2) Je ne comprends pas pourquoi le fait que les seuls sous-groupes distingués de A₅ sont lui-même et le sous-groupe trivial implique qu'on élimine le 1...

[Seirios]

1) Effectivement, j'avais pas vu.
Donc n₃=1 ou 4

Non, il y a encore un cas possible.

Mais alors comment choisir?

Il y a déjà un cas que tu peux éliminer en t'inspirant de la réponse de 2).

2) Je ne comprends pas pourquoi le fait que les seuls sous-groupes distingués de A₅ sont lui-même et le sous-groupe trivial implique qu'on élimine le 1...

J'ai tout dit dans ma réponse précédente : s'il existait un seul 5-Sylow, il serait distingué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bambar]

2)Ok, j'ai réfléchit et j'ai compris.

1) Je rectifie n₃=1 ou 4 ou 10 (j'en vois pas d'autres)
Si j'appliquais la méthode du 2) je considèrerais A₃, c'est un groupe simple. Donc par le même mécanisme on élimine 1.

Il reste alors 4 et 10. Et je ne vois pas comment les distinguer

[Seirios]

1) Je rectifie n₃=1 ou 4 ou 10 (j'en vois pas d'autres)

Je suis d'accord.

Si j'appliquais la méthode du 2) je considèrerais A₃, c'est un groupe simple. Donc par le même mécanisme on élimine 1.

Pourquoi regarder ?

Il reste alors 4 et 10. Et je ne vois pas comment les distinguer

Un indice : les 3-Sylow sont des groupes cycliques d'ordre 3. Quels sont les éléments d'ordre 3 de ?

[bambar]

Pourquoi regarder ?

Un indice : les 3-Sylow sont des groupes cycliques d'ordre 3. Quels sont les éléments d'ordre 3 de ?

Les éléments d'ordre 3 sont les 3-cycles, il y en a 10. Les 3-sylow sont les sous groupes engendrés par des 3-cycles.
Donc n=10.

Est-ce que ce que j'ai écrit est juste?
Sinon pourriez vous me montrer le raisonnement?

[Seirios]

Mais deux éléments d'ordre trois ne peuvent-ils pas appartenir à un même sous-groupe ? Du coup, il est possible qu'il y en ait moins !