Bonjour,
Que signifie le fait de décrire une image obtenue par une application linéaire ?
Par ex, j'ai un plan P défini dans un repère orthonormé et une matrice de rotation me donne l'image P' du plan P.
Et il faut décrire P' par l'application linéaire. Ca veut dire quoi concrètement ?
Merci d'avance
Bonjour, soitet
Bonjour.
Tu as vu en cours que l'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel d'arrivée. Le décrire c'est dire ce qu'il est.
Pour ta rotation, ne serait-ce pas une bijection ?
Cordialement.
Bonjour,
Merci pour ces deux réponses.
Si j'ai bien suivi ce que tu dis gg0 , décrire l'image d'une application, c'est dire que dans le cas d'une rotation il y a bijection ? Et je dois le montrer ? Mon plan fait une rotation de pi/2 et donc l'image est surjective et injective, donc bijective. J'ai de la peine à saisir en quoi je réponds à la question en disant cela, c'est pas très clair.
* l'application est surjective et injective
J'ai répondu à ta question spécifique, et en reprends des mots sans avoir vraiment lu ce que je disais. Fais l'effort de lire et comprendre les phrases, car sinon tu racontes n'importe quoi comme ici : " décrire l'image d'une application, c'est dire que dans le cas d'une rotation il y a bijection".
"décrire l'image d'une application", c'est dire quels sont les éléments de l'ensemble image. Donc, parmi les éléments de l'ensemble d'arrivée de l'application f, dire quels sont ceux qui s'écrivent f(x).
Pour une application linéaire, c'est plus simple, voir (et lire vraiment) mon premier message. Si tu ne connais rien à l'algèbre linéaire, il ne sert à rien. De même, si tu ne connais pas le lien entre bijection et image, il serait bon que tu regardes ça un peu de près. En ne confondant pas fonction (qui peut être injective ou surjective) et image (qui est une partie de l'ensemble d'arrivée).
Cordialement.
Cordialement.
Mes excuses, j'avais mal interprété ta réponse. Donc reprenons :
Tous mes points d'arrivée, c'est à dire l'intégralité du plan P', peuvent s'écrire f(x) puisque l'application est bijective. Jusque là on est bon ?
Donc la matrice associée à ma rotation de centre O et d'angle pi/2 est :
cosx sinx 0
-sinx cos x 0
0 0 1
Ce qui nous donne :
0 -1 0
1 0 0
0 0 1
C'est un endomorphisme de l'espace.
L'image serait :
x' .............. x
y' (matrice) y
z' ........... z
En espérant que ça progresse...
Heu ... Est-ce que tu aurais un énoncé complet et précis ? Car ton premier message semble parler d'une rotation (vectorielle plane) et là tu est parti sur une rotation vectorielle de l'espace
Je me demande si on parle de la même chose. Et je me demande si tu n'es pas en train de chercher des réponses toutes faites, qui ne serviront qu'à un seul cas, alors qu'apprendre les notions mathématiques de base te permettrait de savoir tout faire; en bref, si tu n'es pas en train de perdre ton temps ...
NB : Si c'est une rotation plane, tu avais fini. Mais faute de savoir de quoi on perle, tu ne t'en étais pas rendu compte. Et si ce n'est pas une rotation plane, ton premier message est incompréhensible !!!
Pour l'énoncé on a 3 point A(5 ; 0 ; 0) B(0 ; 2 ; 0) C (0 ; 0 ; 2) , rotation du plan ABC de pi/2 autour de OA. Il faut trouver la matrice de l'application et décrire l'image.
En effet je me suis trompé, il s'agit bien d'une rotation vectorielle plane puisqu'elle est autour de OA, les z ne sont pas affectés (j'avais omis ce détail)
Donc il s'agirait plutôt d'un endomorphisme du plan. La matrice est celle que j'ai écrite plus haut mais sans les z. De plus tous les éléments d'arrivée peuvent s'écrire f(x)
puisqu'il y a bijection. Est-ce que c'est mieux ?
OK.
Ça n'a rien à voir avec ton énoncé du début !!
On est dans l'espace, puisque les points ont trois coordonnées. Ensuite, ce que tu écris ne veut rien dire : " rotation du plan ABC de pi/2 autour de OA." Donne l'énoncé exact.
Pour l'instant, je ne peux pas t'aider, puisque je ne sais pas de quoi il s'agit ...
Dans ma question du départ, je cherchais à savoir ce qui signifiait " décrire une image par une application "
Voici l'énoncé exact : (qui est traduit de l'allemand)
A partir des points A(5;0;0) , B(0;2;0) et C(0;0;2), donner une équation cartésienne du plan P
Déterminer ensuite la matrice de l'application linéaire d'une rotation R de pi/2 autour de OA.
Décrire l'image obtenue, P', du plan P par l'application R
OK.
Maintenant, on a un énoncé cohérent. Tu aurais dû commencer par là.
Il ne faut pas confondre la rotation R, qui n'est pas une application linéaire à priori et l'application linéaire associée, notons la R* qui est une rotation vectorielle. R* transforme les vecteurs de Ox en eux même, puisque l'axe des x est l'axe de la rotation. la suite est un peu flou, car il y a deux rotations d'angle pi/2 autour d'un axe, suivant dans quel sens on tourne : dans le plan, il y a une orientation particulière, ce qu'on appelle "le sens trigonométrique", dans l'espace il y a une orientation globale, mais pas d'angles orientés; un plan peut être orienté de deux façons : Pense à une feuille transparente, un cercle y est tracé, avec un sens de parcours. Si vu de dessus il est dans le sens trigo, vu de dessous il est dans le sens inverse.
On va supposer que dans la tête du rédacteur de l'exercice, l'angle de pi/2 est choisi de façon que l'axe des y, une fois transformé donne un axe Ot tel que (Ox,Oy,Ot) soit un repère direct (comme(Ox,Oy,Oz)). Dans ce cas, l'axe des y devient l'axe des z, et Oz devient un axe confondu avec Oy, mais de sens contraire. En termes vectoriels, si
Ce qui te permet d'avoir ta matrice immédiatement (des 0, deux 1 et un -1); je te laisse l'écrire (*).
Reste à trouver l'image du plan. On sait que c'est un plan (linéarité de l'application vectorielle associée), et il est facile de trouver les images de A, B et C.
Cordialement.
NB : Mes messages du début n'ont rien à voir avec cet énoncé, donc sont à priori à oublier.
(*) Rappel : les colonnes de la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée sont les coordonnées dans la base des images des vecteurs de la base.
Bon je crois qu'avec tes explications, j'ai enfin compris.
C'est dommage j'arrive pas à écrire une matrice en latex, même en copiant le code, ça donne rien dans la prévisualisation.
Donc, en tournant autour de x, ma matrice de rotation est :
1....0.....0
0....0....-1
0....1.....0
Les images sont donc A'(5;0;0) , B'(0;0;2) et C'(0;-2;0)
C'est correct.
Attention à la justification pour les images de points : ici, O est un point fixe, donc les coordonnées de points M qui sont des coordonnées des vecteurs OM se transforment par application de la matrice. Ce serait différent si l'axe de la rotation ne passait pas par O.
Ok merci. Au vu de l'énoncé, vu que le sens n'est pas précisé, est-ce qu'on ne devrait pas dire qu'il y a 2 solutions possibles en proposant également le même raisonnement en faisant tourner l'axe de x également dans l'autre sens ? Ou on peut librement, dans l'espace, définir un sens de rotation ?
Je ne sais pas,
je ne sais pas ce que font les allemands (ou suisses, ou autrichiens, ...). L'énoncé parle "d'une rotation", peut-être pour que soient traités les deux cas.
D'accord. Merci beaucoup pour les explications.
